Thuật toán nhân vectơ ma trận sử dụng số lượng bổ sung tối thiểu

10

Hãy xem xét vấn đề sau:

Cho một ma trận chúng tôi muốn tối ưu hóa số lượng bổ sung trong thuật toán nhân cho tính toán . $M$ $v \mapsto Mv$

Tôi thấy vấn đề này thú vị vì mối quan hệ của nó với sự phức tạp của phép nhân ma trận (vấn đề này là một phiên bản giới hạn của phép nhân ma trận).

Những gì được biết về vấn đề này?

Có kết quả thú vị nào liên quan đến vấn đề này đối với sự phức tạp của bài toán nhân ma trận không?

Câu trả lời cho vấn đề dường như liên quan đến việc tìm kiếm các mạch chỉ có cổng bổ sung. Điều gì nếu chúng ta cho phép cổng trừ?

Tôi đang tìm kiếm sự giảm bớt giữa vấn đề này và các vấn đề khác.

Thúc đẩy bởi

— vzn
nguồn

M

$M$

n \times n

$n\times n$

(N, +)

$(N,+)$

({0, 1}, \lor)

$(\{0,1\},\lor)$

n^{2 - o (1)}

$n^{2-o(1)}$

(G F (2), +)

$(GF(2),+)$

ω (n)

$\omega(n)$

9

Đây thực chất là vấn đề thúc đẩy Valiant đưa độ cứng của ma trận vào độ phức tạp (theo như tôi hiểu về lịch sử).

Mạch tuyến tính là một mạch đại số có cổng duy nhất là cổng kết hợp tuyến tính hai đầu vào. Mọi phép biến đổi tuyến tính (ma trận) có thể được tính bằng một mạch tuyến tính có kích thước bậc hai, và câu hỏi là khi nào người ta có thể làm tốt hơn. Người ta biết rằng đối với một ma trận ngẫu nhiên, người ta không thể làm tốt hơn đáng kể.

Một số ma trận - như ma trận biến đổi Fourier, ma trận có thứ hạng thấp hoặc ma trận thưa thớt - có thể được thực hiện tốt hơn đáng kể.

Một ma trận đủ cứng không thể được tính bằng các mạch tuyến tính đồng thời kích thước tuyến tính và độ sâu log (Valiant), nhưng cho đến ngày nay, không có ma trận rõ ràng nào được biết có một siêu tuyến tính giới hạn dưới kích thước của các mạch tuyến tính.

Tôi không nhớ là đã thấy kết quả nói rằng thật khó để tính kích thước của mạch tuyến tính nhỏ nhất cho một ma trận nhất định, nhưng tôi sẽ không ngạc nhiên nếu nó là NP-hard.

— Joshua Grochow
nguồn

3

Đó là NP-hard, xem cstheory.stackexchange.com/a/32272/225

— Ryan Williams

7

$M$

$\Omega(n (\log n/\log \log n)^{d-1})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\Omega(n^{4/3})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\tilde{\Omega}(n^{2-2/(d+1)})$ $M$ $n\times n$ $d$

Những giới hạn này về cơ bản là tốt nhất có thể. Xem Chương 6.3. trong cuốn sách của Chazelle .

— Sasho Nikolov
nguồn