Cáo phó của phỏng đoán chết

Tôi đang tìm kiếm những phỏng đoán về các thuật toán và độ phức tạp được nhiều người xem là đáng tin cậy tại một số thời điểm, nhưng sau đó chúng hoặc bị từ chối, hoặc ít nhất là không tin, do gắn bằng chứng phản bác. Đây là hai ví dụ:

1. Giả thuyết tiên tri ngẫu nhiên: mối quan hệ giữa các lớp phức tạp giữ gần như tất cả các thế giới tương đối hóa, cũng giữ trong trường hợp không liên quan. Điều này đã bị từ chối bởi kết quả và bằng cách chứng minh rằng I P X ≠ P S P A C E X giữ cho hầu hết các phép lạ ngẫu nhiên X , xem Giả thuyết Oracle ngẫu nhiên là Sai .$IP=PSPACE$$IP^X\neq PSPACE^X$$X$

2. Bị chặn lỗi ngẫu nhiên đúng cách mở rộng sức mạnh của thời gian đa thức (ví dụ, ). Điều này đã được tin tưởng trong một thời gian, nhưng sau đó, do kết quả khử cực kỳ phức tạp và mối liên hệ của chúng với độ phức tạp của mạch, phỏng đoán ngược lại ( P = B P P ) đã trở nên phổ biến (mặc dù vẫn mở).$P\neq BPP$$P=BPP$

Đó là một số phỏng đoán khác đã thất bại trong bài kiểm tra thời gian?

$\mathsf{NL} \neq \mathsf{coNL}$ . Trước kết quả hai cái này bằng nhau, tôi nghĩ người ta tin rằng chúng khác biệt, bởi sự tương đồng với niềm tin rằng (nghĩa là nguyên tắc chung là "không thuyết phục và đồng phạm không thuyết phục là khác nhau ", điều này hóa ra là sai dưới giới hạn phức tạp không gian ít nhất là logarit).$\mathsf{NP} \neq \mathsf{coNP}$

Trước , người ta có thể nghĩ rằng thậm chí không có trong : trong Fortnow-Sipser 1988, họ đã phỏng đoán đây là trường hợp và đưa ra một lời tiên tri liên quan đến nó là sự thật.$\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$\mathsf{coNP}$$\mathsf{IP}$

Các chương trình phân nhánh có độ rộng không đổi đòi hỏi nhiều hơn độ dài đa thức : Sau khi Furst-Saxe-Sipser và Ajtai năm 1981 cho thấy các mạch AC ⁰ không thể đếm được, một bước tiếp theo tự nhiên dường như cho thấy các chương trình phân nhánh có độ rộng không đổi của đa thức chiều dài không thể đếm, được phỏng đoán rộng rãi để giữ. David Barrington vào năm 1986 cho thấy họ không chỉ có thể đếm mà còn tương đương với NC ¹ .

Các -conjecture: Đó là bất kỳ thuật toán xác định cho đòi hỏi thời gian.$\mathsf{3SUM}$$\mathsf{3SUM}$$\Omega(n^2)$

Điều này đã được chứng minh vào năm 2014, bởi Allan Grønlund và Seth Pettie, người đã đưa ra một thuật toán xác định chạy trong [1].$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$

[1] Threesomes, thoái hóa và tam giác tình yêu. Allan Grønlund và Seth Pettie. Trong nền tảng của Khoa học máy tính (FOCS) 2014, trang 621-630. arXiv: 1404.0799 [cs.DS]

Giải pháp cho vấn đề thứ mười của Hilbert của Davis, Matiyasevich, Putnam và Robinson, cho thấy các bộ liệt kê đệ quy chính xác là các bộ Diophantine.

(Tôi đang sao chép ở đây một bài đăng trên blog , Hindsight , từ một vài năm trước, như được đề xuất trong các bình luận.)

Từ đánh giá của Georg Kreisel về Vấn đề quyết định đối với các phương trình diophantine theo cấp số nhân , của Martin Davis, Hilary Putnam, và Julia Robinson, Ann. môn Toán. (2), 74 (3) , (1961), 425 Tiếng436. MR0133227 (24 # A3061) .

Bài viết này thiết lập rằng mọi tập hợp đệ quy (re) có thể được định nghĩa tồn tại theo thuật ngữ lũy thừa. [V]] Những kết quả này có liên quan bề ngoài đến vấn đề thứ mười của Hilbert về các phương trình Diophantine (thông thường, không theo cấp số nhân). Bằng chứng về kết quả của các tác giả, mặc dù rất thanh lịch, không sử dụng các sự kiện được xem xét lại trong lý thuyết số cũng như trong lý thuyết về các tập hợp lại, và do đó, có khả năng kết quả hiện tại không liên quan chặt chẽ với vấn đề thứ mười của Hilbert. Ngoài ra, không phải hoàn toàn hợp lý rằng tất cả các vấn đề Diophantine (thông thường) đều có thể giảm đồng nhất với những vấn đề trong một số biến cố định ở mức độ cố định, sẽ là trường hợp nếu tất cả các bộ lại là Diophantine.

Tất nhiên, trích dẫn yêu thích của tôi liên quan đến vấn đề thứ mười là từ Lời nói đầu của Martin Davis đến vấn đề thứ mười của Hilbert của Yuri Matiyasevich .

Trong những năm 1960, tôi thường có dịp giảng bài về Bài toán thứ mười của Hilbert. Vào thời điểm đó, người ta biết rằng khả năng không thể giải quyết sẽ xuất phát từ sự tồn tại của một phương trình Diophantine duy nhất thỏa mãn một điều kiện đã được Julia Robinson đưa ra. Tuy nhiên, dường như rất khó để tạo ra một phương trình như vậy, và thực sự, ý kiến ​​phổ biến là người ta khó có thể tồn tại. Trong các bài giảng của mình, tôi sẽ nhấn mạnh những hậu quả quan trọng sẽ xảy ra từ một bằng chứng hoặc sự không chắc chắn về sự tồn tại của một phương trình như vậy. Chắc chắn trong suốt thời gian đặt câu hỏi, tôi sẽ được hỏi về ý kiến ​​của riêng mình về vấn đề sẽ diễn ra như thế nào và tôi đã sẵn sàng trả lời: Tôi nghĩ rằng giả thuyết của Julia Robinson là đúng, và nó sẽ được chứng minh bởi một người Nga trẻ thông minh.

Các chương trình của Hilbert và "phỏng đoán" của ông về decidability của lý thuyết chính thức. Nó được xây dựng vào đầu những năm 1920 và được ông và các cộng tác viên của ông tại Đại học Gottingen và các nơi khác trong những năm 1920 và 1930 theo đuổi.

"Với nền tảng mới của toán học - cái mà người ta có thể gọi một cách hợp lý là một lý thuyết chứng minh - tôi tin rằng sẽ loại bỏ các câu hỏi nền tảng trong toán học một lần và mãi mãi bằng cách biến mọi phát biểu toán học thành một công thức có thể thể hiện một cách cụ thể và nghiêm ngặt và từ đó chuyển giao toàn bộ câu hỏi vào lĩnh vực toán học thuần túy. "

Người ta biết rằng các đề xuất của Hilbert "sụp đổ" (khá nhanh chóng [1931]) vào định lý bất toàn của Godel .

Để có cái nhìn tổng quan về chương trình của Hilbert và các phát triển sau này, hãy xem: Richard Zach; Chương trình của Hilbert lúc đó và bây giờ; Cẩm nang của Triết học Khoa học. Tập 5: Triết học về logic; 2006

Xem thêm câu trả lời của Andrés Caiceso cho một khía cạnh khác của câu chuyện: vấn đề thứ mười của Hilbert chỉ được giải quyết vào năm 1970.

Trong một bài giảng của Madhu Sudan *, ông khẳng định có một số niềm tin rằng tồn tại sao cho , thông qua lập trình semidefinite, trước khi chứng minh định lý ba bit của Håstad.$s > 1/2$$\text{PCP}_{1,s}[ \log n, 3] \subseteq \text{P}$

Thật vậy, SDP không hiển thị , đưa ra một ràng buộc chặt chẽ về sự phức tạp của các PCP đó.$\text{PCP}_{1,1/2}[ \log n, 3] = \text{P}$

(* Tôi tìm thấy bài giảng này của Madhu được xuất bản trong "Lý thuyết phức tạp tính toán được chỉnh sửa bởi Rudich / Wigderson")

phỏng đoán phạm vi trên một phổ từ chính thức đến không chính thức. ví dụ phỏng đoán nổi tiếng của Hilberts về tính quyết định của toán học đã được chính thức hóa thành một vài vấn đề, ví dụ như bài toán thứ 10 của Hilberts nhưng nó cũng là một phỏng đoán không chính thức hoành tráng hơn bao trùm toàn bộ lĩnh vực. nó cũng có thể được coi là một chương trình nghiên cứu đề xuất.

một công thức dễ dàng để tìm ra "cáo phó của những phỏng đoán chết" như vậy là xem xét phỏng đoán "meta-" "[x] có thể được chứng minh trong cuộc đời tôi." văn học toán học chứa đầy những tuyên bố / kỳ vọng như vậy hóa ra là "sai" theo nghĩa hoàn toàn thách thức những kỳ vọng về khó khăn và khả năng tiếp cận của một bằng chứng. một trong những cổ điển là phỏng đoán Riemann, mở ra trong hơn 1 thế kỷ. áp dụng mô hình tương tự này vào lý thuyết phức tạp là không dễ dàng vì lý thuyết phức tạp là một lĩnh vực khoa học trẻ hơn nhiều. tuy nhiên, đây là một ví dụ quan trọng.

việc phát hiện sớm vấn đề P vs NP (hiện đã mở 4 thập kỷ) có một sự ngây thơ trong đó các nhà điều tra ban đầu đã không và không thể tưởng tượng được vấn đề sẽ khó khăn hay xuyên suốt như thế nào. để làm cho điều này cụ thể hơn, hãy xem xét lĩnh vực phức tạp mạch được phát minh vào đầu những năm 1980, ví dụ bởi Sipser. đây là một chương trình nghiên cứu có phần giống như Hilberts được gắn một phần để tấn công P vs NP. một số kết quả lịch sử được Arvind tóm tắt trong phần tóm tắt / giới thiệu này Cột phức tạp tính toán, BEATCS 106 :

Những năm 1980 là thời kỳ hoàng kim cho giới hạn độ phức tạp của mạch Boolean. Có những đột phá lớn. Ví dụ, kích thước theo cấp số nhân của Razborov bị ràng buộc thấp hơn đối với các mạch Boolean đơn điệu tính toán hàm Clique và các giới hạn kích thước siêu chính trị Razborov-Smolensky cho các mạch có độ sâu không đổi với các cổng MOD _p cho số nguyên tố p. Những kết quả này làm cho các nhà nghiên cứu lạc quan về tiến bộ đối với các câu hỏi lớn ràng buộc thấp hơn và tách lớp phức tạp. Tuy nhiên, trong hai thập kỷ qua, sự lạc quan này dần biến thành tuyệt vọng. Chúng ta vẫn chưa biết làm thế nào để chứng minh các giới hạn dưới đa cực cho các mạch có độ sâu không đổi với các cổng MOD ₆ cho một hàm tính toán theo thời gian theo cấp số nhân.

Có hai bài báo quan trọng đã bắn hạ hy vọng trong lĩnh vực này. Razborov đã có kết quả tuyệt vời / nổi tiếng về chức năng Clique nhưng sau đó đã viết hai bài báo trái ngược nhau. một bài báo đã chỉ ra rằng Match, một vấn đề thời gian P, đòi hỏi các mạch đơn điệu theo cấp số nhân và do đó, theo một cách nào đó, cách tiếp cận mạch đơn điệu đối với các giới hạn thấp hơn đã bị cản trở do thiếu sự tương ứng phức tạp với các mạch nonmonotone ("hoàn chỉnh") (vẫn chưa hoàn toàn hiểu).

điều này đã được mở rộng trên bài báo nổi tiếng Natural Proofs của ông, đồng tác giả với Rudich, trong đó cho thấy rằng tất cả các bằng chứng giới hạn mạch trước đều phải tuân theo một mô hình cụ thể có điểm yếu có thể chứng minh được trong xung đột với các giới hạn số thấp được phỏng đoán từ các trình tạo số ngẫu nhiên cứng từ mật mã.

vì vậy, ở một mức độ nào đó mạch đã "rơi từ ân sủng". nó vẫn là một lĩnh vực nghiên cứu lớn nhưng sự khôn ngoan thông thường, được hỗ trợ bởi các kết quả kỹ thuật, là một loại mô hình / cấu trúc bằng chứng đặc biệt chưa được biết đến sẽ được yêu cầu để có được kết quả mạnh mẽ trong khu vực, nếu thực sự có thể. trong thực tế tương tự người ta có thể đề xuất rằng ngay cả "giới hạn dưới mạnh mẽ trong lý thuyết phức tạp" nói chung hiện đang được xem là vô cùng khó khăn, và điều này không được dự đoán / dự đoán rộng rãi trong những ngày còn trẻ của lĩnh vực này. nhưng mặt khác, điều này sau đó xếp chúng ở đó về độ khó / ý nghĩa / tầm quan trọng với các vấn đề lớn (mở) của toán học.