Đa hướng được định hướng như automata tối thiểu

Với một ngôn ngữ thông thường trên bảng chữ cái A , máy tự động xác định tối thiểu của nó có thể được xem như là một đa giác được kết nối có định hướng với mức độ không đổi | Một | và một trạng thái ban đầu được đánh dấu (bằng cách quên nhãn chuyển tiếp, trạng thái cuối cùng). Chúng tôi giữ trạng thái ban đầu bởi vì mọi đỉnh phải có thể truy cập được từ nó.$L$$A$$|A|$

Điều ngược lại có đúng không? Tức là đã đưa ra một chữ số được kết nối trực tiếp với trạng thái ban đầu và trạng thái ban đầu không đổi để mọi đỉnh có thể truy cập được từ nó, luôn có ngôn ngữ L sao cho G là đồ thị cơ bản của máy tự động tối thiểu L ?$G$$L$$G$$L$

Ví dụ nếu đúng, vì đồ thị phải là "lasso" với tiền tố kích thước i và vòng lặp có kích thước j và tương ứng với số tự động tối thiểu của L = { a i + n j | n ∈ N } .$|A|=1$$i$$j$$L=\{a^{i+nj}~|~n\in\mathbb N\}$

Động lực đến từ một vấn đề liên quan gặp phải trong việc giảm độ phân giải, trong đó giải pháp dễ dàng hơn: bắt đầu từ một biểu đồ đơn giản không định hướng và với nhiều thao tác được phép hơn như thêm chìm. Nhưng tôi đã tự hỏi nếu ai đó đã xem xét câu hỏi tự nhiên hơn này?

Những thứ duy nhất được kết nối từ xa mà tôi có thể tìm thấy trong các tài liệu là các bài báo như Độ phức tạp của Đường tô màu với Từ đặt lại được kê đơn , trong đó mục tiêu là tô màu nhiều chữ sao cho máy tự động kết quả có từ đồng bộ hóa. Tuy nhiên tối thiểu dường như không được xem xét.

Cập nhật : Câu hỏi tiếp theo sau câu trả lời của Klaus Draeger: sự phức tạp của việc quyết định xem một đồ thị có hình dạng này là gì không? Chúng ta có thể đoán tính tối thiểu của việc ghi nhãn và xác minh đa thức của máy tự động, vì vậy nó nằm trong NP, nhưng chúng ta có thể nói nhiều hơn không?

Bất kỳ nút hấp thụ nào cũng sẽ phải chấp nhận hoặc không (để mọi thứ hoặc không có gì được chấp nhận khi n được nhập). Nếu biểu đồ có nhiều hơn hai nút hấp thụ, thì một số trong số chúng sẽ kết thúc tương đương với bất kỳ lựa chọn nào về ghi nhãn và chấp nhận tập hợp.$n$$n$

Tổng quát hơn, đối với bất kỳ đồ thị được kết nối mạnh nào , chỉ có một số hữu hạn n ( H ) của các nhãn khác nhau có thể có và chấp nhận các tập con; nếu đồ thị của bạn có nhiều hơn n ( H ) thiết bị đầu cuối được kết nối mạnh mẽ tương đương với H (được gắn ở lá cây, chẳng hạn), nó không thể tương ứng với bất kỳ thiết bị tự động tối thiểu nào.$H$$n(H)$$n(H)$$H$

EDIT, liên quan đến câu hỏi tiếp theo: Điều này nghe có vẻ khó khăn. Một cách tiếp cận được đề xuất bởi lập luận của tôi có thể trông như thế này:

• Phân vùng thành SCC. Đây là giá rẻ; O ( | V | + | E | ) sử dụng thuật toán Tarjan.$G$$O(|V|+|E|)$
• Sắp xếp các SCC thành các lớp đẳng cấu. Đáng tiếc là phép đẳng cấu đồ thị không được biết đến là trong .$P$
• $\{a,b\}$$a$$b$
• Đối xử với các SCC còn lại trong DAG tương tự, có tính đến các SCC thấp hơn; Tôi hơi mờ về các chi tiết của phần này.

Đó là một bước mà độ phức tạp của nó nổi tiếng mở và một bước khác có vẻ như có thể cần thời gian theo cấp số nhân (vì có thể có nhiều phân vùng theo cấp số nhân được loại trừ khi xác định automata cho phép). Chúng ta có thể làm tốt hơn không?