Là

37

Chúng tôi biết rằng cấp độ đầu tiên của hệ thống phân cấp đa thức (ví dụ NP và co-NP) là trong PP và . Chúng ta cũng biết từ Định lý của Toda rằng . $PP \subseteq PSPACE$ $PH \subseteq P^{PP}$

Chúng tôi có biết liệu $PH \subseteq PP$ $P$ $PP$ $PP$ $PH \nsubseteq PP$ $PP \nsubseteq PH$

Câu hỏi này rất đơn giản, nhưng tôi không tìm thấy bất kỳ tài nguyên nào giải quyết nó.

Tôi hỏi này câu hỏi liên quan nhưng ít cụ thể về tràn toán trước khi tìm hiểu thêm về chủ đề này.

Đây là một câu hỏi hơi liên quan (nhưng khác nhau): Có phải ? $coNP^{\#P}=NP^{\#P}=P^{\#P}$

Cập nhật: Hãy xem câu hỏi của Noam Nisan tại đây: Thêm về PH trong PP?

cc.complexity-theory counting-complexity polynomial-hierarchy

— Huck Bennett
nguồn

37

Huck, như Lance và Robin đã chỉ ra, chúng ta có những phép lạ liên quan đến PH không có trong PP. Nhưng điều đó không trả lời câu hỏi của bạn, đó là tình huống trong thế giới "thực" (không liên quan)!

Câu trả lời ngắn gọn là (như với rất nhiều thứ khác trong lý thuyết phức tạp) chúng ta không biết.

Nhưng câu trả lời dài hơn là có những lý do rất chính đáng để phỏng đoán rằng thực sự PH ⊆ PP.

Đầu tiên, Định lý của Toda ngụ ý PH ⊆ BP.PP, trong đó BP.PP là lớp phức tạp "đối với PP như BPP là P" (nói cách khác, PP nơi bạn có thể sử dụng ngẫu nhiên để quyết định tính toán MAJORITY nào bạn muốn biểu diễn). Thứ hai, theo các giả thuyết derandomization hợp lý (tương tự như các giả thuyết được biết là ngụ ý P = BPP, bởi Nisan-Wigderson, Impagliazzo-Wigderson, v.v.), chúng ta sẽ có PP = BP.PP.

Phụ lục, để giải quyết các câu hỏi khác của bạn:

(1) Tôi muốn nói rằng chúng ta không có một trực giác hấp dẫn nào cho câu hỏi liệu PP = P ^PP . Chúng ta biết, từ kết quả của Beigel-Reingold-Spielman và Fortnow-Reingold, mà PP được đóng dưới nonadaptive (sự thật bảng) giảm. Nói cách khác, một máy P có thể thực hiện các truy vấn song song với một nhà tiên tri PP không mạnh hơn chính PP. Nhưng thực tế là những kết quả này bị phá vỡ hoàn toàn đối với các truy vấn thích ứng (không song song) với nhà tiên tri PP cho thấy rằng có thể sau này thực sự mạnh hơn.

(2) Tương tự như vậy, NP ^PP và coNP ^PP có thể vẫn mạnh hơn P ^PP . Và PP ^PP có thể mạnh hơn nữa, v.v. Chuỗi P, PP, P ^PP , PP ^PP , P ^{PP ^ PP} , v.v. được gọi là hệ thống phân cấp đếm , và giống như mọi người phỏng đoán rằng PH là vô hạn, do đó người ta có thể phỏng đoán (mặc dù có thể kém tự tin hơn!) Mà CH là vô hạn. Điều này liên quan chặt chẽ đến niềm tin rằng, trong các mạch ngưỡng có độ sâu không đổi (nghĩa là mạng nơ ron), việc thêm nhiều lớp cổng ngưỡng mang lại cho bạn sức mạnh tính toán nhiều hơn.

— Scott Aaronson
nguồn

7

Scott, tôi hơi bối rối bởi tuyên bố rằng PP "hợp lý" sẽ chứa PH. Sự phân tách PH đầu tiên từ PP thông qua các phép lạ có trong lõi tổ hợp của nó, sự phân tách Minski & Papert ban đầu mà một AND-of-OR không thể được mô phỏng bằng cổng ngưỡng đa giác. Tôi nghĩ rằng phiên bản không đồng nhất của Toda đang mô phỏng AC0 bằng cách phân phối xác suất trên các cổng ngưỡng polylog độ để có câu trả lời đúng whp. Do đó, ở cấp độ không đồng đều, "BP" -có thêm sức mạnh đáng kể, không giống như P không đồng nhất P vs BPP hoặc NP so với AM. Vì vậy, ví dụ là PH trong PP với một lời tiên tri ngẫu nhiên?

— Noam

Không, PP không phải là một nhà tiên tri ngẫu nhiên có chứa BP.PP? (Tôi không thấy lý do tại sao không nên.) Nếu vậy, thì chắc chắn PH nằm trong PP với lời tiên tri ngẫu nhiên. Nhưng hãy để tôi hỏi một câu hỏi khác: có lớp C phức tạp nào mà chúng ta có lý do chính đáng để tin rằng C không bằng BP.C không?

— Scott Aaronson

Bạn sẽ cần khuếch đại để chỉ ra rằng PP = BP.PP với một lời tiên tri ngẫu nhiên - Tôi không thấy cách thực hiện điều đó. Ngay cả không đồng đều, tôi không thể thấy PH nằm trong PP / poly. Các AND-of-OR không ở ngưỡng polylog độ dường như cho thấy rằng ngay cả PH không đồng đều cũng không có trong PP?

— Noam

Đây là một bài báo cho thấy BP.PP = PP theo một giả thuyết hợp lý: www.cs.uwyo.edu/~jhitchco/ con / hhdcc.ps

— Scott Aaronson

8

Điều tôi còn thiếu là Fortnow và Reingold đã chỉ ra rằng PP bị đóng cửa theo mức giảm có thể xác thực, một sự đóng cửa cần thiết cho việc khử cộng đồng bằng cách sử dụng PRG (hoặc không đồng nhất hoặc với một lời sấm ngẫu nhiên). Tuy nhiên tôi vẫn còn bối rối ở đây, và đặt ra một câu hỏi về nó: cstheory.stackexchange.com/questions/3331/more-on-ph-in-pp

— Noam

23

$P^{NP}$

— Lance Fortnow
nguồn

20

$P^{NP}$

[Ver] NK Vereshchagin. Về sức mạnh của PP , Kỷ yếu về độ phức tạp của IEEE'92, trang 138-143, 1992.

— Robin Kothari
nguồn

13

Một cái gì đó đã không được đề cập cho đến nay (theo như tôi có thể thấy) và giữ trong thế giới không liên quan là như sau:

P H \subseteq P P if Q M A = P P .

$PH \subseteq PP \quad\mbox{ if }\quad QMA = PP.$

Điều này đã được Vyalyi quan sát trong bài báo này và xuất phát từ việc củng cố hai định lý:

$\sharp P$ $P$ $PH$
$QMA \subseteq PP$ $QMA$ $A_0PP$ $PP$

— Alessandro Cosentino
nguồn