Các vấn đề không cần thiết có thể giải quyết trong thời gian liên tục?

Thời gian không đổi là mức độ thấp tuyệt đối của độ phức tạp thời gian. Người ta có thể tự hỏi: có bất cứ điều gì không cần thiết có thể được tính toán trong thời gian liên tục? Nếu chúng ta dính vào mô hình máy Turing, thì không thể thực hiện được nhiều, vì câu trả lời chỉ có thể phụ thuộc vào một phân đoạn ban đầu có độ dài không đổi, vì các phần xa hơn của đầu vào thậm chí không thể đạt được trong thời gian không đổi.

Mặt khác, nếu chúng ta áp dụng mô hình RAM chi phí đơn vị mạnh hơn (và thực tế hơn), trong đó các hoạt động cơ bản trên các số -bit được tính là các bước đơn lẻ, thì chúng ta có thể giải quyết nhiệm vụ không cần thiết, ngay cả trong thời gian liên tục. Đây là một ví dụ:$O(\log n)$

Sơ thẩm: Các số nguyên , mỗi số được định dạng nhị phân theo các bit .O ( log n $n, k, l, d$$O(\log n)$

Câu hỏi: Có tồn tại biểu đồ -vertex, sao cho kết nối đỉnh của nó là , kết nối cạnh của nó là và mức độ tối thiểu của nó là ?k l $n$$k$$l$$d$

Lưu ý rằng từ định nghĩa, thậm chí không rõ ràng rằng vấn đề nằm ở NP . Lý do là nhân chứng tự nhiên (biểu đồ) có thể cần mô tả dài , trong khi đầu vào chỉ được cung cấp bởi các bit . Mặt khác, định lý sau (xem Lý thuyết đồ thị cực trị của B. Bollobas) đến để giải cứu.O ( log n $\Omega(n^2)$$O(\log n)$

Định lý: Gọi là các số nguyên. Tồn tại một đồ thị -vertex với kết nối đỉnh , kết nối cạnh và độ tối thiểu , nếu và chỉ khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:n k l $n, k, l, d$$n$$k$$l$$d$

• $0\leq k\leq l \leq d <\lfloor n/2 \rfloor$ ,
• $1\leq 2d+2-n\leq k\leq l = d< n-1$
• $k=l=d=n-1.$

Vì các điều kiện này có thể được kiểm tra theo thời gian không đổi (trong mô hình RAM chi phí đơn vị), Định lý dẫn đến thuật toán thời gian không đổi trong mô hình này.

Câu hỏi: một số ví dụ không cần thiết khác của thuật toán thời gian không đổi là gì?

Các thuật toán xấp xỉ thời gian liên tục bằng giấy thông qua các cải tiến cục bộ của Nguyen và Onak đưa ra rất nhiều ví dụ về các sơ đồ xấp xỉ thời gian liên tục ngẫu nhiên ngẫu nhiên: Kết hợp tối đa (thời gian chạy chỉ phụ thuộc vào mức độ tối đa của biểu đồ), Đặt bìa, v.v. trình bày một phương pháp để thiết kế các thuật toán như vậy.

Có nhiều ví dụ về các trò chơi được nghiên cứu trong lý thuyết trò chơi kết hợp trong đó trạng thái của trò chơi có thể được mô tả bằng một số lượng giá trị nguyên không đổi. Đối với một số trong số này, một chiến lược chiến thắng cho trò chơi có thể được tính toán trong thời gian liên tục. Nhưng họ cũng đặt ra câu hỏi về chính xác mô hình tính toán của bạn là gì.

Một trong những trò chơi kết hợp đơn giản và cơ bản nhất là nim: một trò chơi có số lượng đậu không đổi, và trong một lần di chuyển, bạn có thể loại bỏ bất kỳ số lượng đậu nào từ một đống, dù thắng hay thua (tùy thuộc vào quy tắc bạn chọn) nếu bạn lấy hạt đậu cuối cùng Chiến lược tối ưu có thể được tính trong thời gian không đổi nếu bạn cho phép các phép toán Boolean xor bitwise (tức là toán tử ^ trong các ngôn ngữ lập trình như C / C ++ / Java / vv.) Đây có phải là thuật toán thời gian không đổi trong mô hình của bạn không?

Đây là một trong đó người ta biết rằng tồn tại một thuật toán xác định chính xác thời gian không đổi (trong một mô hình tính toán mở rộng có thể không thực tế cho phép bạn kiểm tra tính nguyên thủy của một số trong thời gian không đổi) nhưng không biết thuật toán đó là gì: bắt đầu di chuyển trong trò chơi của đồng tiền Sylver , xác định xem đó là một nước cờ thắng hay thua. Một sơ đồ cho vấn đề này được đưa ra trong Berlecamp, Conway và Guy, Winning Way , nhưng nó phụ thuộc vào một bộ phản biện hữu hạn cho một đặc điểm chung của các nước cờ chiến thắng, và không biết đó là gì (hay thậm chí là nó là gì trống).

Một ví dụ thú vị khác từ lý thuyết trò chơi kết hợp là trò chơi của Wythoff. Mỗi vị trí trò chơi có thể được mô tả bằng một cặp số nguyên (nghĩa là không gian không đổi, trong mô hình tính toán của bạn), di chuyển trong trò chơi liên quan đến việc giảm một trong hai số nguyên này xuống một giá trị nhỏ hơn và chiến lược chiến thắng liên quan đến việc di chuyển đến vị trí trong đó tỷ lệ giữa hai số nguyên này càng gần với tỷ lệ vàng càng tốt. Nhưng trong nhiều vị trí trò chơi, có một sự lựa chọn: bạn có thể giảm số nguyên lớn hơn của hai số nguyên xuống điểm (gần) số nguyên nhỏ hơn nhân với tỷ lệ vàng hoặc số nguyên nhỏ hơn chia cho tỷ lệ vàng. Chỉ một trong hai lựa chọn này sẽ là một nước cờ chiến thắng. Vì vậy, chiến lược tối ưu có thể được xác định theo số lượng các phép toán số học không đổi, nhưng các hoạt động này liên quan đến một số vô tỷ, tỷ lệ vàng. Đó có phải là một thuật toán thời gian không đổi trong mô hình của bạn? Có lẽ nó '$n$$\log n$

$|G|$$G$$p$$m$$m$$|G|$$G$$p$$m$$G$$|G|$$m$$m$$m$