Có thể quyết định liệu chiều dài đầu ra của đầu dò có bị giới hạn bởi chiều dài đầu vào không?

Các bộ chuyển đổi được xem xét ở đây là những Wikipedia gọi là bộ chuyển đổi trạng thái hữu hạn . Hành vi của một bộ chuyển đổi , nghĩa là, mối quan hệ mà nó tính toán, được viết : một từ là một đầu ra cho iff . $T$ $[T]$ $y$ $x$ $x[T]y$

Câu hỏi: Là vấn đề sau đây có thể quyết định:

Cho trước: Bộ chuyển đổi và ngôn ngữ thông thường Quyết định: Liệu nó có giữ , một từ, ngụ ý rằng? $T$ $L$
$\forall x \in L$ $\forall y$ $x[T]y$ $|y| \leq |x|$

Tôi đang tìm kiếm các phân tích không cần thiết / các nhóm con có thể giải quyết được, giảm các vấn đề đã biết và / hoặc các giới thiệu liên quan. (ngay bây giờ thậm chí không chắc chắn nó có thể quyết định nói chung ...?)

Động lực: vấn đề này được truyền cảm hứng từ phân tích / tìm hiểu về định lý tự động chứng minh các vấn đề lý thuyết số nói chung và một vấn đề được nghiên cứu cao, phỏng đoán Collatz , nói riêng.

— vzn
nguồn

ps (nên được đề cập, như đã biết từ lâu) các bộ chuyển đổi FSM đủ mạnh để tính toán các lần lặp duy nhất của TM "mô tả tức thời" . do đó vấn đề dường như có thể liên quan đến LBA và CSL .

— vzn

Bởibạn nói về số lượng đầu ra trên đầu vào , phải không? Không phải kích thước của đầu ra, trong trường hợp đó, nó khá đơn giản.

| F (x) |

$|F(x)|$

x

$x$

— Michaël Cadilhac

x, F (x)

$x, F(x)$ là cả hai từ vàlà độ dài của từ "đầu ra". có một số ý tưởng nhưng không thấy bất cứ điều gì thẳng thắn tại thời điểm này do đó câu hỏi. có lẽ là không cần thiết, ví dụ như đầu vào / đầu ra của trên một số chuyển đổi, v.v.

| F (x) |

$|F(x)|$

ϵ

$\epsilon$

— vzn

Vì vậy, bạn mặc nhiên cho rằng bộ chuyển đổi của bạn là thông minh chức năng, điều đó không rõ ràng đối với tôi :-) Vì vậy, những gì sau đây: Hãy để là một bộ chuyển đổi (có thể không đặc biệt) và là ngôn ngữ thông thường. Sửa đổi thành một bộ chuyển đổi để nó kiểm tra xem đầu vào của nó có ở hay không và tất cả các trạng thái của nó có thể truy cập và có thể truy cập được không. Sau đóđối với tất cả iff, không có chu trình đơn giản nào trong bộ chuyển đổi mà đầu vào nhỏ hơn đầu ra và một số thuộc tính dễ dàng bổ sung trên các chuyển đổi không xuất hiện trong bất kỳ SCC nào.

T

$T$

L

$L$

T

$T$

T^{'}

$T'$

L

$L$

| T (w) | \leq | w |

$|T(w)| \leq |w|$

w \in L

$w \in L$

T^{'}

$T'$

— Michaël Cadilhac

đồng ý. cho "đầu vào nhỏ hơn đầu ra" bạn có nghĩa là trong chu kỳ? nghĩ rằng đây là giá trị viết lên như câu trả lời. có một cách khác để hình thành vấn đề / vấn đề liên quan này với các tiêu chí chặt chẽ hơn có lẽ không dễ (có thể), có thể sẽ thử lại về điều đó ("phần 2 / phần tiếp theo / theo dõi") nếu câu trả lời của bạn có vẻ đúng. vấn đề hiện tại có lẽ gần như là một trường hợp đặc biệt của vấn đề rộng lớn hơn.

— vzn

Người đóng góp khác đã xóa câu trả lời của anh ấy, có lẽ để tôi mở rộng nhận xét trên của mình, vì vậy đây là.

Đặt là một bộ chuyển đổi không đặc biệt có thể, và là một ngôn ngữ thông thường. Sửa đổi thành một bộ chuyển đổi để kiểm tra xem đầu vào của nó có ở (bằng cách, ví dụ, thay đổi trạng thái được đặt thành sản phẩm Cartesian của bộ trạng thái và , và sửa đổi hàm chuyển đổi sao cho phần của các trạng thái được cập nhật đúng cách, trong khi vẫn duy trì hành vi của ) $T$ $L$ $T$ $T'$ $L$ $T$ $L$ $L$ $T$

Một nhánh của là một chuỗi sao cho là một đường dẫn đơn giản trong , và mỗi là một thành phần được kết nối mạnh mẽ của các trạng thái bao gồm đích của (và nguồn gốc của ). Chi nhánh được thuần hóa nếu: $T'$ $\rho_1 C_1\rho_2 C_2 \cdots \rho_n C_n \rho_{n+1}$ $\rho_1\rho_2 \cdots \rho_{n+1}$ $T'$ $C_i$ $T'$ $\rho_i$ $\rho_{i+1}$

Độ dài đầu vào của đường dẫn lớn hơn hoặc bằng độ dài đầu ra của nó; $\rho_1\rho_2\cdots\rho_{n+1}$
Đối với bất kỳ , bất kỳ chu kỳ đơn giản nào trong , độ dài đầu vào của chu kỳ lớn hơn hoặc bằng độ dài đầu ra của nó. $i$ $C_i$

Sự thật: Với mọi , ngụ ý iff tất cả các chi nhánh được thuần hóa. $\big[$ $x, y$ $x[T']y$ $|y| \leq |x|$ $\big]$

Bằng chứng là khá ngay lập tức. Thuộc tính thứ hai có thể quyết định được (vì số lượng nhánh bị giới hạn và số chu kỳ đơn giản cũng vậy), điều này cho thấy vấn đề của câu hỏi là có thể quyết định được.

— Michaël Cadilhac
nguồn

Nó nhìn từ mô tả rằng nó thậm chí có thể quyết định được trong NL (do đó là P), giả sử được đưa ra bởi một FSA.

L

$L$

— Emil Jeřábek

Tôi đã gửi cho bạn một thông báo (xin lỗi tôi đã không đọc kỹ bình luận của bạn trước khi đăng) nhưng có lẽ bạn đã không nhận được nó sau khi xóa câu trả lời :-) ... nhưng bây giờ - như một khoản hoàn trả thời gian - bạn nên chuyển sang (và giải quyết!) câu hỏi khó hơn này: " Vấn đề mở : Có tồn tại và mã hóa có thể tính toán sao cho tất cả , ? " :-D :-D

n \geq 1

$n \geq 1$

S_{n}

$S_n$

k \geq 1

$k \geq 1$

L_{\leq n}^{S_{n}} = L_{\leq n + k}^{S_{n}}

$L^{S_n}_{\leq n} = L^{S_n}_{\leq n+k}$

— Marzio De Biasi

@ EmilJeřábek Thật vậy, nó khá rõ ràng trong co-NL (do đó trong NL).

— Michaël Cadilhac

@MarzioDeBiasi Cảm ơn! Tôi thực sự không thấy thông báo của bạn Tôi sẽ làm việc để hoàn trả thời gian của bạn khi tôi có một số

— Michaël Cadilhac