Sự phức tạp của việc đếm các nút lẻ trong biểu đồ là gì?

Theo Bổ đề bắt tay: bất kỳ đồ thị vô hướng nào có đỉnh có độ là số lẻ phải có một số đỉnh khác có độ là số lẻ. Quan sát này có nghĩa là nếu chúng ta được đưa ra một biểu đồ và một đỉnh độ lẻ và chúng ta được yêu cầu tìm một số đỉnh độ lẻ khác, thì chúng ta đang tìm kiếm một cái gì đó được đảm bảo tồn tại (vì vậy, chúng ta có một vấn đề tìm kiếm tổng thể ).

PPA (Christos Papadimitriou năm 1994 [1]) được định nghĩa như sau. Giả sử chúng ta có một biểu đồ trên các đỉnh của nó là các chuỗi nhị phân n-bit và biểu đồ được biểu diễn bằng một mạch có kích thước đa thức lấy một đỉnh làm đầu vào và đầu ra các lân cận của nó. (Lưu ý rằng điều này cho phép chúng ta biểu diễn một đồ thị lớn theo cấp số nhân mà trên đó chúng ta có thể thực hiện thăm dò cục bộ một cách hiệu quả.) Giả sử xa hơn là một đỉnh cụ thể (giả sử vectơ all-zeroes) có số lượng lân cận lẻ. Chúng tôi được yêu cầu tìm một đỉnh khác lẻ. Lớp đối số chẵn lẻ tương ứng cho đồ thị có hướng là thuộc về PPAD.

Câu hỏi của tôi: sự phức tạp của việc đếm các nút lẻ trong đồ thị có hướng và không có hướng là gì?

[1] Papadimitriou, Christos H. "Về sự phức tạp của lập luận tương đương và các bằng chứng không hiệu quả khác về sự tồn tại." Tạp chí Khoa học Máy tính và Hệ thống 48.3 (1994): 498-532.

Chà, ít nhất -hard. Đưa ra một công thức SAT, xây dựng một biểu đồ có hai đỉnh, và , cho mỗi lần gán biến có thể . Nếu là một phép gán thỏa mãn cho công thức, hãy vẽ một cạnh giữa và ; đây là những cạnh duy nhất Thật dễ dàng để xây dựng mạch cho biểu đồ này từ công thức SAT và số lượng đỉnh lẻ chính xác gấp đôi số lượng bài tập thỏa mãn.v x v ′ x → x x v x v ′ $\#\mathsf{P}$$v_x$$v_x'$$\vec{x}$$x$$v_x$$v_x'$