Những tham số đồ thị KHÔNG tập trung vào đồ thị ngẫu nhiên?

Người ta biết rằng nhiều tham số biểu đồ quan trọng cho thấy sự tập trung (mạnh) trên các biểu đồ ngẫu nhiên, ít nhất là trong một số phạm vi của xác suất cạnh. Một số ví dụ điển hình là số màu, cụm tối đa, tập độc lập tối đa, khớp tối đa, số thống trị, số bản sao của một sơ đồ con cố định, đường kính, mức tối đa, số lựa chọn (số màu danh sách), Lovasz -number, chiều rộng cây v.v.$\theta$

Câu hỏi: Đó là những ngoại lệ, nghĩa là các tham số biểu đồ có ý nghĩa không tập trung vào các biểu đồ ngẫu nhiên?

Chỉnh sửa. Một định nghĩa có thể của sự tập trung là đây:

Đặt là tham số biểu đồ trên biểu đồ ngẫu nhiên -vertex. Chúng tôi gọi nó là tập trung , nếu với mọi , thì nó giữ Nồng độ là mạnh , nếu xác suất đạt 1 với tốc độ theo cấp số nhân. Nhưng đôi khi mạnh mẽ được sử dụng theo một nghĩa khác, đề cập đến thực tế là sự hội tụ vẫn đúng với một khoảng thu hẹp, mang lại một phạm vi có thể rất hẹp. Ví dụ: nếu X_n là mức độ tối thiểu, thì, đối với một số phạm vi của xác suất cạnh p , người ta có thể chứng minh $X_n$$n$lim n → ∞ Pr ( ( 1 - ε ) E ( X n ) ≤ X n ≤ ( 1 + ε ) E ( X n ) ) = $\epsilon>0$

Lưu ý: Người ta có thể xây dựng các miễn trừ nhân tạo từ quy tắc tập trung. Ví dụ: đặt , nếu biểu đồ có số cạnh lẻ và 0 khác. Điều này rõ ràng không tập trung, nhưng tôi sẽ không coi đó là một tham số có ý nghĩa .$X_n=n$

$G(n,p)$$p=1/n$$p$

Xem ví dụ

Aldous, David. "Những chuyến du ngoạn của Brown, đồ thị ngẫu nhiên quan trọng và sự kết hợp nhân." Biên niên sử xác suất (1997): 812-854.

Nachmias, Asaf và Yuval Peres. "Đồ thị ngẫu nhiên quan trọng: đường kính và thời gian trộn." Biên niên sử Xác suất 36, không. 4 (2008): 1267-1286.

Addario-Berry, Louigi, Nicolas Broutin và Christina Goldschmidt. "Giới hạn liên tục của đồ thị ngẫu nhiên quan trọng." Lý thuyết xác suất và các lĩnh vực liên quan 152, không. 3-4 (2012): 367-406.

$\#\mathsf{P}$

$2^m$$\pm \Theta(n)$$2^{\Theta(n)}$$(1+\epsilon)$

$(n-1)!/2^{n+1}$$(n-1)!/2$$1/2^n$$(n-2)!/2^{n-1}$$\Theta(n)$

Các ứng cử viên hợp lý khác cho việc không tập trung bao gồm số lượng màu (phân vùng của các đỉnh thành các bộ độc lập), số lượng khớp hoặc khớp hoàn hảo hoặc số cây bao trùm.