Cho đồ thị tự do 4 chu kỳ

Các $k$ vấn đề -cycle là như sau:

Sơ thẩm: Một đồ thị vô hướng $G$ có $n$ đỉnh và tối đa cạnh. $n \choose 2$

Câu hỏi: Có tồn tại một mô-tơ (thích hợp) trong không? $k$ $G$

Bối cảnh: Đối với bất kỳ cố định nào $k$ , chúng ta có thể giải quyết $2k$ mô-tơ trong thời gian $O(n^2)$ .

Raphael Yuster, Uri Zwick: Tìm kiếm ngay cả chu kỳ thậm chí nhanh hơn. SIAM J.
Toán rời rạc. 10 (2): 209-222 (1997)

Tuy nhiên, chúng ta không biết liệu chúng ta có thể giải được 3 chu kỳ (tức là 3 cụm) trong thời gian nhân ma trận không.

Câu hỏi của tôi: Giả sử $G$ không chứa 4 chu kỳ, chúng ta có thể giải bài toán 3 chu kỳ trong thời gian $O(n^2)$ không?

David đề xuất một cách tiếp cận để giải quyết biến thể này của bài toán 3 chu kỳ trong thời gian $O(n^{2.111})$ .

— Michael Wehar
nguồn

Có vẻ như nếu chu kỳ nhỏ nhất của đồ thị

có độ dài ít nhất là 5, thì nó có nhiều nhất là

G

$G$

các cạnh. Liên kết:link.springer.com/article/10.1007%2FBF01787638

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$

— Michael Wehar

Thông tin bổ sung có thể được tìm thấy trong bài báo này: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.94.8121

— Michael Wehar

Tôi nghĩ rằng bạn cũng có thể quan tâm đến Eisenbrand, Friedrich và Fabrizio Grandoni. "Về sự phức tạp của cụm tham số cố định và tập hợp thống trị." Khoa học máy tính lý thuyết 326.1 (2004): 57-67. (Trong trường hợp bạn chưa biết về nó).

— Juho

Câu trả lời:

Vâng, điều này được biết. Nó xuất hiện trong một trong những tài liệu tham khảo bắt buộc về tìm kiếm tam giác ...

Cụ thể, Itai và Rodeh chỉ ra trong SICOMP 1978 cách tìm, trong thời gian , một chu kỳ trong đồ thị có nhiều nhất một cạnh so với chu kỳ độ dài tối thiểu. (Xem ba câu đầu tiên của bản tóm tắt tại đây: http://www.cs.technion.ac.il/~itai/publications/Alacticms/min-circuit.pdf ) Đây là một thủ tục đơn giản dựa trên các thuộc tính của chiều rộng đầu tiên Tìm kiếm. $O(n^2)$

Vì vậy, nếu đồ thị của bạn không có 4 chu kỳ và có hình tam giác, thuật toán của họ phải xuất ra nó, bởi vì nó không thể xuất ra 5 chu kỳ hoặc lớn hơn.

— Ryan Williams
nguồn

Nó không phải bậc hai, nhưng Alon Yuster và Zwick (phim "Finding và đếm cho chu kỳ dài", Algorithmica 1997) đưa ra một thuật toán cho việc tìm kiếm hình tam giác trong thời gian , nơi là số mũ cho nhanh Phép nhân ma trận. Đối với đồ thị 4-chu-miễn phí, cắm trong và (khác có một -cycle bất kể sự tồn tại của -cycles) cho thời gian $O(m^{2\omega/(\omega+1)})$ $\omega$ $\omega<2.373$ $m=O(n^{3/2})$ $4$ $3$ . $O(n^{3\omega/(\omega+1)})=O(n^{2.111})$

— David Eppstein
nguồn

Điều đó thật tuyệt! Tôi rất trân trọng điều này. :)

— Michael Wehar 6/11/2015

Đúng, nếu một đồ thị không có 4 chu kỳ, thì nó có nhiều nhất là

các cạnh. Link:books.google.com/...

O (n^{\frac{3}{2}})

$O(n^{\frac{3}{2}})$

— Michael Wehar

2 k

$2k$

O (n^{1 + \frac{1}{k}})

$O(n^{1+\frac{1}{k}})$

O (n^{\frac{4}{3}})

$O(n^{\frac{4}{3}})$ edges. Therefore, we can determine if it has a 3-cycle in

O (n^{1.876})

$O(n^{1.876})$ time using the method that David suggested. :)

— Michael Wehar

Further, for any fixed

k > 2

$k > 2$ , if

G

$G$ is

2 k

$2k$ -cycle free, then we can determine if

G

$G$ has a 3-cycle in subquadratic time because

G

$G$ doesn't have too many edges. However, when

k = 2

$k = 2$ , that's when things get interesting. Can we beat

O (n^{2.111})

$O(n^{2.111})$ ?

— Michael Wehar