Liệu phỏng đoán đẳng cấu có ngụ ý giới hạn theo cấp số nhân về mật độ nhân chứng không?

Giả thuyết đẳng cấu của Berman và Hartmanis nói rằng tất cả các tập hợp là các đa thức thời gian đẳng cấu với nhau. Điều này có nghĩa là các vấn đề -complete có thể giảm thiểu một cách hiệu quả thông qua các mệnh đề tính toán và đảo ngược thời gian đa thức. Các giả thuyết ngụ ý . $NP$ $NP$ $P\neq NP$

Giả thuyết đẳng cấu hàm ý hàm ý hàm mũ theo hàm mũ theo mật độ thấp hơn theo mật độ của tập hợp -complete vì bài toán Độ thỏa mãn rất dày đặc. Tôi tự hỏi nếu nó cũng ngụ ý một hàm mũ thấp hơn theo hàm mũ về mật độ nhân chứng cho tập hợp -complete. $NP$ $NP$

Liệu phỏng đoán đẳng cấu có ngụ ý giới hạn theo cấp số nhân về mật độ nhân chứng không? Liệu nó ngụ ý rằng -complete vấn đề không thể ở trong ? $NP$ $FewP$

Kết quả tốt nhất tôi biết là như sau:

Nếu và thì phỏng đoán đẳng cấu giữ. $P=UP$ $NP=EXP$

Mật độ của tập đề cập đến số chuỗi có độ dài nhỏ hơn trong ngôn ngữ. Một tập hợp là theo cấp số nhân dày đặc nếu mật độ của nó là đối với một số và vô số và thưa thớt nếu = . $D$ $S$ $n$ $S$ $D=\Omega(2^{n^\epsilon})$ $\epsilon \gt 0$ $n$ $D$ $O(poly(n))$

cc.complexity-theory structural-complexity

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

Các nhân chứng mật độ của bộ

phụ thuộc vào số lượng tối đa của các nhân chứng cho

khắp

X

$X$

x

$x$

x \in X

$x \in X$

— Mohammad Al-Turkistany

Có vẻ như không thể. Thật thú vị khi xây dựng một nhà tiên tri trong đó phỏng đoán đẳng cấu giữ và

hoặc

... (Lưu ý rằng việc tạo

có thể khiến cuộc sống khó khăn hơn một chút trong công trình này, kể từ khi có được phỏng đoán đẳng cấu để giữ người ta sẽ cần

, và vẫn cần một cách khác xung quanh Giả thuyết Joseph-Young.)

N P = U P

$NP=UP$

N P = F e w P

$NP=FewP$

N P = U P

$NP=UP$

P \neq U P

$P \neq UP$

— Joshua Grochow

Tôi không thấy điều đó sẽ xảy ra ngay lập tức như thế nào: phỏng đoán đẳng cấu là về ngôn ngữ và dường như không có bất kỳ hàm ý nào về cấu trúc nhân chứng của các trình xác minh NP. (Mỗi ngôn ngữ có vô số trình xác minh khác nhau cho ngôn ngữ đó và bạn có khả năng có thể buộc những người xác minh đó làm những việc kỳ lạ.)

Nhưng câu hỏi của bạn cho thấy một câu hỏi hấp dẫn rất tự nhiên khác, về sự củng cố sau đây của Giả thuyết đẳng cấu:

"Có phải tất cả các trình xác minh cho các bộ hoàn chỉnh NP đa hình thời gian không?"

$\phi_{L,L'}$ $L,L'$ $V,V'$ $\psi_{V,V'}$ $\phi_{L,L'}$ $NP$ bằng chứng về độ bền tôi có thể nghĩ là cung cấp cho bạn một sự tương ứng một-một của loại này. "Giả thuyết đồng hình nhân chứng" mạnh mẽ hơn này sẽ ngụ ý một số loại câu trả lời có cho câu hỏi của bạn.

Một tìm kiếm nhanh trên Google (gõ 'phỏng đoán đẳng cấu nhân chứng') đã tìm thấy một cuộc khảo sát về một số cách tiếp cận đối với loại câu hỏi này:

Eric Allender. Điều tra liên quan đến cấu trúc của bộ hoàn chỉnh. Quan điểm về độ phức tạp tính toán: Tập kỷ niệm Somenath Biswas, Springer, 2014

— Ryan Williams
nguồn

+1 Rất thú vị. Theo gợi ý của bạn, tôi đã googled và tôi tìm thấy bài báo này, giảm nhân chứng và vấn đề tìm kiếm địa phương . Đây có phải là loại nhân chứng bắt buộc phải không?

— Mohammad Al-Turkistany

L, L^{'}

$L,L'$

N P

$\mathsf{NP}$

V, V^{'}

$V,V'$

ϕ_{L, L^{'}}, ψ_{V, V^{'}}

$\phi_{L,L'}, \psi_{V,V'}$

V, V^{'}

$V,V'$

V

$V$

V^{'}

$V'$

{{0, 1}^{n} w | V (w) = 1}

$\{\{0,1\}^n w | V(w)=1\}$

Đúng vậy, bạn phải cẩn thận cách bạn hình thành các phỏng đoán để tránh các phản ứng tầm thường. Googling tiết lộ với tôi rằng tôi không phải là người đầu tiên, vì vậy tôi khuyên bạn nên đọc tác phẩm của những người đã nghĩ về điều này trong hơn 10 phút :)

— Ryan Williams

Ryan, tôi nghĩ phỏng đoán của bạn rất quan trọng. Có thể dễ dàng chứng minh hơn Giả thuyết đẳng cấu chuẩn của Berman và Hartmanis. Tôi nghĩ rằng phỏng đoán của bạn cho thấy sự tồn tại của trình xác minh phổ quát cho tất cả các bộ NP.

— Mohammad Al-Turkistany