Các vấn đề trong thời gian đa thức có thể hình dung được ở P (mà không gây sụp đổ hoặc vi phạm niềm tin được tổ chức rộng rãi)

Là một số ví dụ về các vấn đề với thời gian bán đa thức (những gì ) thuật toán mà hình dung có thể ở P . Nói cách khác, họ đang ở trong$QP$$P$$QP$ không có lý do rõ ràng nào ngoài việc không ai tìm thấy thuật toán đa thức thời gian?

Câu hỏi này được thúc đẩy bởi kết quả đẳng cấu đồ thị gần đây (là câu trả lời hợp lệ cho câu hỏi này)

Một số ví dụ không phải là

• Tìm một cụm kích thước trong biểu đồ$\log^{100} n$
• Tìm đường dẫn kích thước trong biểu đồ$\log^{100} n$
• Giải k-sum cho $k=\log^{100} n$
• Thống trị tối thiểu được thiết lập trong một giải đấu

Bất kỳ vấn đề nào trong sẽ vi phạm giả thuyết thời gian theo cấp số nhân (ETH).$P$

Nhóm đẳng cấu! Mặc dù Ricky Demer đã đưa ra rất nhiều chi tiết (mặc dù chắc chắn không phải tất cả) về điều này, nhưng có một điểm quan trọng tôi muốn nêu bật, đặc biệt. đưa ra động lực đã nêu cho câu hỏi, cụ thể là:

Đưa đồng phân nhóm vào là một trở ngại chính để đưa biểu đồ đẳng cấu vào $\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Sự đẳng cấu nhóm (khi được đưa ra bởi các bảng nhân) làm giảm thành biểu đồ đẳng cấu, do đó, về mặt kỹ thuật luôn luôn đúng. Nhưng khi Graph Iso là con đường lên tại cách nhóm Iso2(logn)2rất xa, rõ ràng có những trở ngại khác trên đường đi. Nếu Graph Iso là trong thời gian2(logn) O ( 1 ) , Tập đoàn đẳng cấu là sau đó một trở ngại nhiều hơn nữa ngay lập tức có liên quan đến việc phép đẳng cấu đồ thị vàoP. Cụ thể, điều này sẽ gợi ý rằng thuật toán của Babai xử lý nhiều [1] tổ hợp của GI, và vấn đề bây giờ thuộc về đại số cứng. (Không phải là không có đại số cứng trong GI, nhưng GroupIsotheo định nghĩavề đại số.)$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{(\log n)^2}$$2^{(\log n)^{O(1)}}$$\mathsf{P}$

[1] Tôi sẽ không nói "tất cả" các tổ hợp, bởi vì số mũ trong thuật toán của Babai rất có thể , vẫn sẽ để lại một khoảng cách giữa GI và GroupIso. Ngoài ra bởi vì vẫn có thể có một số tổ hợp ngồi bên trong đại số của GroupIso ...$> 2$

Giải bài toán phân nhóm trồng cây để phân biệt đồ thị ngẫu nhiên đồng nhất với liên kết của đồ thị ngẫu nhiên và cụm (có kích thước trung gian giữa và$2\log_2 n$ ), với xác suất thành công giới hạn từ 1/2. Nó khác với ví dụ vi phạm ETH của bạn về việc tìm các cụm có kích thước polylog trong các biểu đồ tùy ý, bởi vì đây là vấn đề trung bình không phải là trường hợp xấu nhất.$\sqrt n$

Sự đẳng cấu nhóm là một vấn đề khác đã được biết
đến mà có thể giải quyết được trong thời gian đa thức. Kết quả đó có thể được khái quát
cho các đối tượng hữu hạn khác "mở rộng" các nhóm theo một nghĩa phù hợp -
[bán kết giao hoán với đặc tính sản phẩm bằng không ] và các nhóm giao hoán
đều không đủ gần, nhưng [ Θ (1) tuples Chiều dài của nhóm với nhãn trên một số bộ
phần tử nhóm (không nhất thiết phải từ cùng một nhóm)] tất cả đều hoạt động.
(Điều đó khá rộng, vì các bộ dữ liệu đơn được gắn nhãn cho phép các chức năng mã hóa,
và sau đó các bộ dữ liệu của các nhóm cho phép tách biệtvô hướng và vectơ .)

Đối với câu trả lời này, các nhóm được đưa ra bởi các bảng Cayley . Hãy nhớ rằng các vấn đề tôi sẽ
đề cập chỉ là "thực sự" được biết đến trong SUBEXP khi [các nhóm cơ bản của chúng
không nhất thiết phải là abelian] hoặc [chúng có thể có "số lượng đủ lớn" để dán nhãn là
không được bao gồm bởi [a "nhỏ" số [[phân nhóm của khoản tiền trực tiếp của các nhóm] và / hoặc
[chức năng từ và đến các phân nhóm như vậy mà phân phối trên Ngoài ra]]]], vì nếu không thì
tất cả mọi thứ có thể được nén theo cấp số nhân bằng cách thể hiện điều về mặt tạo các bộ,
trong trường hợp đó, việc đưa ra các bảng đầy đủ thay vào đó về cơ bản sẽ có giá trị để đệm đầu vào.

Đối với đầu vào bao gồm [một cặp lệnh $\langle \hspace{-0.02 in}$A, B số các bộ dữ liệu đó có độ dài là cả L] và [một số nguyên không âm c sao cho L và c đều ở O (1)] và một bộ L có độ dài hạn chế có thể có đối với lực hấp dẫn / tính từ /không tính, sự tồn tại của nhiều hơn c [hình thái từ [đối tượng bên trái của cặp đã ra lệnh] đến [đối tượng bên phải của cặp đã ra lệnh] mà đồng cấu nhóm thành phầnL thỏa mãn các hạn chế tương ứng] có thể quyết định được trong GC(O (log (max (max (max) cardinality_of_A's_groups)) ⋅ log (max (cardinality_of_B's_groups))),logspace) bằngkết quả của Reingold, vì trình xác minhcó quyền truy cập đọc hai chiều vàobằng chứng bị cáo buộc. $\hspace{-0.02 in}\rangle$



$\cdot$

Hơn nữa (vẫn sử dụng Reingold), các máy logspace có thể tính toán các hình thái như vậy được cấp
quyền truy cập 2 chiều cho các nhân chứng đó và nếu họ có quyền truy cập 2 chiều vào một băng ngẫu nhiên,
thì họ có thể cung cấp [[một bằng chứng về kiến ​​thức với liên quan đến một trình trích xuất có quyền truy cập đọc 2 chiều
vào những gì nó đã xuất ra] của một nhân chứng như vậy đối với đẳng cấu] với các thuộc tính tương tự
như ZK P oK đối với đẳng cấu đồ thị] với trình xác minh logspace với truy cập đọc 2 chiều đến
sự ngẫu nhiên của chính nó và thông điệp của người hoạt ngôn. Tương tự, hệ thống bằng chứng HVSZK cho đồ thị
không mang về cơ bản không thay đổi đối với các đối tượng thuộc loại đoạn này.

Tương tự với đoạn trước, vì không âm số nguyên k và các đối tượng
bao gồm một nhóm và một chức năng một phần từ [các power-set của nhóm] vào nhóm,
bộ nhóm phần tử k được tự nhiên đại diện với k $\cdot \hspace{-0.02 in}\lceil \hspace{-0.03 in}$nhật ký ₂ (cardinality_of_the_group) bit và "là một tập hợp tạo" là checkable trong logspace cho 2 chiều đọc truy cập vào các thiết lập.$\hspace{-0.02 in}\rceil$

Kết quả là, người ta có được những thứ đó, từ
"phân nhóm đồng phân" đơn giản đến trạng thái , đến "số lượng phần tử tối thiểu vừa phải có
thể kết hợp với một tập hợp con nhất định của một nhóm abelian để tạo ra toàn bộ nhóm",
đến cố ý-phức tạp-to-state
"cho một tên miền có vô hướng chỉ cần để tạo thành một r$\hspace{.02 in}$ng và một tên miền với
phép cộng "vectơ" không nhất thiết phải giao hoán, có nhiều hơn 3 phép đồng hình đại số sao cho bản đồ trên vô hướng không phải là số 0 r$\hspace{.02 in}$ng morphism và bản đồ trên "vectơ" là tiêm truyền? "
đều có trong GC$\hspace{-0.02 in}\big(\hspace{-0.03 in}O\big(\hspace{-0.03 in}$(nhật ký (n)) 2$^2\hspace{-0.03 in}\big)\hspace{-0.03 in}$, không gian đăng nhập$\hspace{-0.03 in}\big)\hspace{-0.02 in}$và do đó đặc biệt có thể giải được trong thời gian đa thức.


Ngoài thực tế là [ kể từ năm 2011 , công việc quan trọng về vấn đề này đã "chỉ" giảm một nửa số mũ của thời gian chạy cho các nhóm chung và chia theo số mũ của thời gian chạy cho các nhóm có thể giải quyết được ],
tôi không biết bất kỳ bằng chứng nào cho thấy các vấn đề đó không nên xảy ra P.


Bằng chứng cho thấy các vấn đề mà câu trả lời này là "không quá khó":

Tôi đã đề cập đến hệ thống bằng chứng ZKPoK và HVSZK.
Bất cứ khi nào có "không quá nhiều" các đối tượng không đẳng hình, [cung cấp cho trình xác minh chuỗi lời khuyên "không dài" và để các bằng chứng chứa một con trỏ đến các vị trí trong đó] là đủ để
xác minh bổ sung cho loại vấn đề này Câu trả lời đã được về trước câu này.
(Con trỏ là nơi chuỗi lời khuyên đưa ra [2 đối tượng tham chiếu
mà các đối tượng đầu vào là đẳng cấu với] và câu trả lời cho chúng.)
Bởi câu trả lời này bị ràng buộc vào số lượng các nhóm không đẳng hình (mà tôi không biết cách chứng minh), bất cứ khi nào các bộ dữ liệu được dán nhãn được bao quanh bởi sự kết hợp của
$\:\: \big[\hspace{-0.02 in}$
$\big[\hspace{-0.02 in}$$O\big(\hspace{-0.03 in}$(nhật ký (n)) $^2\hspace{-0.03 in}\big)\big]\big]\hspace{-0.02 in}$
$n^{O\left((\log(n))^{\hspace{.02 in}2}\hspace{-0.02 in}\right)}$

$O\big(\hspace{-0.03 in}$đăng nhập ⁶ n$\hspace{-0.03 in}\big)$$O\big(\hspace{-0.03 in}$đăng nhập ² n$\hspace{-0.03 in}\big)$

$O(\log^3 k)$$O(i^2 k^{1/i})$$n^{O(i)}$

Liên quan đến vấn đề này là vấn đề Định hướng Submodular và các trường hợp đặc biệt của nó. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=1530718&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fxpls%2Fabs_all.jsp%3Farnumber

$\mathcal{H}:=(V,{\cal E}\subseteq 2^V)$${\cal H}$$V$${\cal E}$

${\cal H}$${\cal T}$

${\cal T}$${\cal H}$

Thuật toán được biết đến nhiều nhất là thuật toán thời gian đa thức (đầu tiên là thuật toán của Fredman và Khachiyan http://dx.doi.org/10.1006/jagm.1996.0062

Vấn đề được gọi là Dualot Boolean Duality hoặc Hypergraph Duality và một số vấn đề liệt kê có thể giảm được cho vấn đề này hoặc tương đương với nó (ví dụ: liệt kê các bộ thống trị tối thiểu tương đương với vấn đề này). Nó thực sự được cho là ở P.