Vấn đề hoàn toàn dễ dàng

Hãy để chúng tôi nói rằng một ngôn ngữ $L$ là P -d mật độ gần nếu có một thuật toán thời gian đa thức quyết định chính xác trên hầu hết tất cả các đầu vào.$L$

Nói cách khác, có một P , sao cho đang biến mất, có nghĩa là Điều đó cũng có nghĩa là trên một đầu vào ngẫu nhiên thống nhất, thuật toán polytime cho A sẽ đưa ra câu trả lời đúng cho L với xác suất tiếp cận 1. Do đó, việc xem L gần như dễ dàng.$A\in$ $L\Delta A$AL

Lưu ý rằng $L\Delta A$ không phải thưa thớt. Ví dụ: nếu nó có $2^{n/2}$ $n$ -bit, thì nó vẫn biến mất (với tốc độ theo cấp số nhân), vì $2^{n/2}/2^n=2^{-n/2}$ .

Theo định nghĩa trên, không khó để xây dựng các vấn đề NP -complete gần đúng với P -d mật độ, theo định nghĩa trên. Ví dụ: đặt $L$ là bất kỳ ngôn ngữ NP -complete nào và xác định $L^2=\{xx\,|\, x\in L\}$ . Sau đó, $L^2$ giữ lại tính đồng bộ NP , nhưng có nhiều nhất là $2^{n/2}$ $n$ -bit yes-instance. Do đó, thuật toán tầm thường trả lời "không" cho mọi đầu vào, sẽ quyết định chính xác $L^2$ trên hầu hết tất cả các đầu vào; nó sẽ chỉ sai trên một phần $\leq 1-2^{-n/2}$ của đầu vào $n$ -bit.

Mặt khác, sẽ rất ngạc nhiên nếu tất cả các vấn đề của NP -complete đều đóng P -d mật độ. Điều đó có nghĩa là, theo một nghĩa nào đó, tất cả các vấn đề NP -complete hầu như dễ dàng. Điều này thúc đẩy câu hỏi:

Giả sử P $\neq$NP , một số vấn đề NP -complete tự nhiên không phải là P -d mật độ gần?

Tôi đã xem xét liệu có một giả thuyết được chấp nhận chung trong lý thuyết phức tạp hay không, ngụ ý rằng phải tồn tại một ngôn ngữ NP -complete không thể được chấp nhận trong thời gian đa thức trên hầu hết tất cả các đầu vào (như được định nghĩa trong câu hỏi).

Thật thú vị, các giả thuyết "tiêu chuẩn" nhất dường như không ngụ ý nó. Đó là, nó dường như không tuân theo (trừ khi tôi bỏ qua điều gì đó) từ P NP , P BPP , NP coNP , E NE , EXP NEXP , NP PSPACE , NP EXP , NP P / poly, PH không sụp đổ, v.v.$\neq$$=$$\neq$$\neq$$\neq$$\neq$$\neq$$\not\subseteq$

Mặt khác, tôi đã tìm thấy một giả thuyết, ít tiêu chuẩn hơn một chút, ngụ ý sự tồn tại của vấn đề NP -complete đang tìm kiếm , mặc dù không phải là một vấn đề tự nhiên. Trong lý thuyết về giới hạn tài nguyên , giả thuyết cơ bản là NP không có -measure zero, ký hiệu là NP . Một cách không chính thức, điều này có nghĩa là NP-ngôn ngữ trong E không tạo thành một tập hợp con không đáng kể. Để biết chi tiết, xem một cuộc khảo sát ở đây . Trong lý thuyết này, họ chứng minh, trong số nhiều thứ khác, NP ngụ ý sự tồn tại của Pμ p ( ) ≠ 0 μ p ( ) ≠ 0 L $p$$\mu_p($$)\neq 0$$\mu_p($$)\neq 0$-bi-miễn dịch ngôn ngữ trong NP . Một ngôn ngữ là P -bi-miễn dịch nếu không cũng không bổ sung của nó có một tập hợp con vô hạn trong P . Một ngôn ngữ như vậy đáp ứng yêu cầu của chúng tôi một cách mạnh mẽ.$L$$L$

Tuy nhiên, vẫn chưa rõ liệu một ví dụ tồn tại đại diện cho một vấn đề tự nhiên .