Phỏng đoán: Tất cả các ngôn ngữ hoàn chỉnh NP của FPT đều là tham số cố định-đẳng cấu

Giả thuyết của BermanTHER Hartmanis: tất cả các ngôn ngữ hoàn chỉnh NP trông giống nhau, theo nghĩa là chúng có thể liên quan với nhau bằng các đẳng cấu thời gian đa thức [1].

Tôi quan tâm đến một phiên bản chi tiết hơn của "thời gian đa thức", nghĩa là, nếu chúng ta sử dụng các mức giảm tham số.

Một vấn đề tham số là một tập hợp con của , nơi là một bảng chữ cái hữu hạn và là tập hợp các số không âm. Do đó, một ví dụ của một vấn đề được tham số hóa là một cặp , trong đó là tham số.$Σ^∗ × Z \geq 0$$Σ$$Z\geq 0$$(I, k)$$k$

Một vấn đề tham số được cố định tham số rút gọn về một vấn đề tham số nếu có tồn tại chức năng , : , và một đa thức ví dụ rằng với bất kỳ trường hợp nào của , là một thể hiện của có thể tính toán được trong thời gian và khi và chỉ khi . Hai vấn đề được tham số hóa là tương đương tham số cố định nếu chúng có thể giảm tham số cố định với nhau.$π_1$$π_2$$f$$g$$Z≥0 → Z≥0$$Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$$p(·)$$(I, k)$$π_1$$(Φ(I, k), g(k))$$π_2$$f(k) · p(|I|)$$(I, k) ∈ π_1$$(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$

Một số vấn đề hoàn thành NP là FPT, ví dụ, phiên bản quyết định của vấn đề bao phủ đỉnh là NP-Complete, nó có thuật toán $O(1.2738^k + kn)$ [2]. Việc tìm ra các mức giảm tham số cố định tốt hơn của vấn đề FPT là NP-Complete có thể dẫn đến thuật toán tốt hơn, ví dụ, bằng cách gọi giảm "phiên bản bảo đảm trên" của vấn đề Multiway Cut có thể dẫn đến thuật toán kịp thời $O^*(4^k)$ cho vấn đề AGVC (Bảo hành trên Vertex Cover) [3], tốt hơn thuật toán O ^ * (15 ^ k) ban đầu $O^*(15^k)$[4].

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

Điều đó có đúng không?

[1] Berman, L.; Hartmanis, J. (1977), "Về đẳng cấu và mật độ của NP và các bộ hoàn chỉnh khác", Tạp chí SIAM về máy tính 6 (2): 305 Tấn 322.

[2] J. Chen, IA Kanj và G. Xia, Cải thiện giới hạn trên cho nắp đỉnh, Theor.Comput. Khoa học, 411 (2010), trang 3736-3756.

[3] M. Cygan, M. Pilipczuk, M. Pilipczuk và JO Wojtaszchot, Trên đường cắt đa đường được tham số hóa trên giới hạn dưới, trong IPEC, 2011.

[4] M. Mahajan và V. Raman, Tham số hóa các giá trị được bảo đảm ở trên: Maxsat và maxcut, J. Al Thuậtms, 31 (1999), trang 335-354.

Serge Gaspers đã đề cập tại sao phỏng đoán của bạn là đúng sự thật.
Tuy nhiên, trên thực tế, người ta có thể có các đẳng cấu tham số cố định thời gian đa thức ,
mà bây giờ tôi nhận ra không phải là ít tầm thường hơn, vì nó áp dụng cho mọi
cặp vấn đề FPT không tầm thường với việc giảm theo nghĩa thông thường.

Hãy là một số nguyên đó là lớn hơn mức độ của thuật toán FPT cho , và để cho và là một yes và không có trường hợp tương ứng của . Sau đây sẽ là giảm tham số cố định thời gian đa thức từ xuống :$c$$\pi_1$
$Y$$N$$\pi_2$
$\pi_1$$\pi_2$

Hãy thử thuật toán FPT trên cho tối đa . Nếu điều đó đưa ra câu trả lời, thì hãy xuất hoặc như được chỉ ra bởi câu trả lời đó. khác, xuất kết quả của việc áp dụng giảm thời gian đa thức thông thường từ thành . Độ chính xác và thời gian chạy đa thức là rõ ràng. Vì lớn hơn mức độ của thuật toán FPT cho , nên với mỗi cố định , chỉ có nhiều độ dài đầu vào mà thời gian chạy tối đa của thuật toán FPT không nhỏ hơn$\pi_1$$n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$$N$
$\pi_1$$\pi_2$


$\:$$c$$\pi_1$$k$$n$$n^{\hspace{.02 in}c}$ . Như vậy, với mỗi cố định , mức giảm trên chỉ có nhiều kết quả đầu ra. Do đó, nó thỏa mãn điều kiện tham số cố định của bạn.$\:$$k$$\:$