Bất đẳng thức hàm số mũ cho các khoảnh khắc bậc cao của biến ngẫu nhiên Gaussian

$X_1,\ldots, X_n$ $n$ $X \sim N(0, \sigma^2)$

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j} | > t) & \leq 2 \exp (c n t^{2}) and \\ P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}^{2} - E X_{j}^{2}) | > t) & \leq 2 \exp (c n min {t^{2}, t}) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cnt^2)~~\text{and}\\ \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^2 - \mathbb{E}X_j^2) \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cn\min \{t^2, t\}). \end{align}$

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}^{4} - E X_{j}^{4}) | > t) \leq 2 \exp (c n t) ? \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^4 - \mathbb{E}X_j^4) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt)? \end{align}$

Y

$Y$

P (| Y | > t) \leq 2 \exp (c t^{α})

$\mathbb{P}(|Y| > t) \leq 2 \exp(c t^{\alpha})$

α > 0

$\alpha > 0$

\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}

$\sum_{i=1}^n Y_i$ ? Đó là, chúng ta có thể có

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (Y_{j} - E Y_{j}) | > t) \leq 2 \exp (c n t^{β}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (Y_j - \mathbb{E}Y_j) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt^\beta) \end{align}$ đối với một số

β > 0

$\beta > 0$ ?

pr.probability st.statistics

— Steve
nguồn

Xem Định lý 23 trong Phần 9.3 của cuốn sách Phân tích các hàm Boolean của Ryan O'Donnell . Mặc dù định lý được nêu cho biến, nó cũng đúng với Gaussian (xem Chương 10 của cuốn sách để biết chi tiết về điều đó). $\pm 1$

Đối với tuyên bố chung hơn, xem Bài tập 7 trong các ghi chú bài giảng này của Terry Tao .

— Yuval Filmus
nguồn

Xin lỗi, tuyên bố trước đó của câu hỏi là không chính xác. Bây giờ tôi đã thực hiện một số sửa chữa. Và chúng ta có thể nói gì về các biến ngẫu nhiên tổng quát hơn với một số hành vi đuôi phân rã

— Steve

Câu hỏi chung hơn của bạn được giải quyết trong các bài giảng của Terry Tao.

— Yuval Filmus