Những điều không chắc chắn trong chương trình GCT

Trong https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_complexity_theory đã đề cập rằng ".. Ketan Mulmuley tin rằng chương trình, nếu khả thi, có thể mất khoảng 100 năm trước khi nó có thể giải quyết vấn đề P so với NP".

Nó dường như chỉ ra rằng chương trình hiện tại duy nhất có thể đối mặt với những trở ngại nghiêm trọng.

Một số trở ngại mà chương trình có thể thất bại là gì?

Nó phụ thuộc vào những gì bạn tính là "chương trình GCT."

1. Xem xét đề xuất cụ thể ( GCT I , GCT II ) để sử dụng sự biến mất / không biến đổi của các bội số nhất định trong các đóng quỹ đạo của định thức và vĩnh viễn để giải quyết phỏng đoán mạnh mẽ vĩnh viễn so với xác định (nghĩa là vĩnh viễn không nằm trong quỹ đạo đóng của quỹ đạo bất kỳ định thức lớn hơn đa thức). Trong trường hợp này, có thể ngay cả khi phỏng đoán là đúng, thì điều này không được phản ánh trong sự biến mất / không biến đổi của bội số của irreps được hỗ trợ trên các đóng quỹ đạo này. Thậm chí có khả năng phỏng đoán không được phản ánh trong sự bất bình đẳng thích hợp của bội số. Tôi nên lưu ý rằng có nhiều dạng bằng chứng khác nhau cho thấy điều này không nên xảy ra, nhưng nó vẫn chưa được loại trừ chính thức.

Tuy nhiên, lưu ý rằng nếu thay vì bội số, bạn chỉ muốn một mô-đun tách , thì phỏng đoán perm v det mạnh là đúng khi và chỉ khi tồn tại mô-đun tách.

2. Nếu mục tiêu của bạn là phỏng đoán ban đầu so với xác định ban đầu, thì có một bước sớm hơn trong GCT, cụ thể là (như được chỉ ra bởi chazisop) di chuyển đến phỏng đoán perm v det mạnh bằng cách xem xét việc đóng quỹ đạo . Có thể hình dung rằng phỏng đoán ban đầu vĩnh viễn so với xác định là đúng nhưng phiên bản mạnh là sai. Tuy nhiên, điều này dường như rất khó xảy ra với tôi. Ngoài ra, nếu đây là tình huống, thì không có phương pháp hiện tại nào của chúng tôi thậm chí có thể tiến gần đến việc giải quyết phỏng đoán perm v det, vì tất cả chúng hiện đang hoạt động cho phiên bản "mạnh" / "xấp xỉ" / "-" / Zariski đóng của bất kỳ tuyên bố phức tạp đại số nào họ đang chứng minh.

3. $\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

4. [Thất bại tiềm năng của giới hạn dưới nói chung, không cụ thể đối với GCT.] GCT hiện đang nhắm đến giới hạn dưới không hình thành; nghĩa là, ngay cả trong cách tiếp cận GCT đối với giới hạn dưới của Boolean, nó nhằm mục đích hiển thị . Nhưng tất nhiên, nó phù hợp với các định lý hiện tại rằng yet . Tất nhiên, về mặt kỹ thuật cũng có thể là và phỏng đoán perm v det là sai!P ≠ N P N P ⊆ P / p o l y P = N $\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$

Tuy nhiên, hãy để tôi chỉ ra rằng chương trình GCT như hiện tại vẫn tồn tại đối với tôi như điều đầu tiên cần thử . Nếu nó chỉ ra rằng bất kỳ một trong số (1) - (3) nào ở trên thực sự không hoạt động, điều đó có nghĩa là phỏng đoán perm v det (và do đó, so với ) gần như không thể tưởng tượng được khó hơn chúng ta hiện đang nghĩ. (Có thể đáng lưu ý rằng tuyên bố này đến từ một người đã nghĩ rằng sự tương tự sau đây có thể gần đúng, nếu không đầy đủ: là trạng thái hiểu biết hiện tại của chúng tôi Phân loại các nhóm đơn giản hữu hạn là theo Định lý nhỏ của Fermat ). Và ngay cả khi đó là trường hợp,N P P ≠ N $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$hiểu cách chính xác mà sự thất bại xảy ra có thể sẽ rất quan trọng để tiến bộ hơn nữa .

Tôi tin rằng tuyên bố "100 năm" đề cập rằng lý thuyết này là chung, nhưng đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc và kết quả mới trong lý thuyết biểu diễn và hình học đại số để tiến bộ, một cái gì đó có thể chậm tiến độ (tôi muốn so sánh với lý thuyết số, nhưng Tôi không chắc nó như thế nào apt).

Ngoài ra, có một sự mất độ chính xác khi dịch sang thế giới hình học alvro: Thay vì chứng minh giới hạn dưới đối với các thuộc tính của một lớp phức tạp (tức là đa thức biến mất khi các đối tượng trong lớp đó được đưa vào làm đầu vào), bạn đang chứng minh điều đó chống lại việc đóng cửa Zariski của nó (của đa thức đã nói ở trên). Có thể hình dung rằng để tách hai phần, người ta phải kiểm tra ranh giới của phần đóng đó (những đa thức chỉ xảy ra trong phần đóng nhưng trên tập gốc). Người ta tin rằng trong biến thể xác định so với biến thể vĩnh viễn của chương trình GCT, đây có thể là trường hợp .

Cuối cùng, từ kinh nghiệm cá nhân, các kỹ năng cần thiết để hiểu sâu về GCT khá khác so với những gì thường là trọng tâm của các chương trình đại học hoặc thậm chí là thạc sĩ trong CS, về cơ bản chọn các điều kiện tiên quyết là một cách tiếp cận tự nhiên của việc chọn học GCT.