Khái niệm thay thế phức tạp dựa trên khoảng cách giữa lực lượng vũ phu và thuật toán tốt nhất?

Thông thường, các thuật toán hiệu quả có thời gian chạy đa thức và không gian giải pháp lớn theo cấp số nhân. Điều này có nghĩa là vấn đề phải dễ dàng theo hai nghĩa: thứ nhất, vấn đề có thể được giải quyết theo số bước đa thức, và thứ hai, không gian giải pháp phải được cấu trúc rất chặt chẽ vì thời gian chạy chỉ là đa bội trong số lượng giải pháp có thể.

Tuy nhiên, đôi khi hai khái niệm này phân kỳ và một vấn đề chỉ dễ dàng trong ý nghĩa đầu tiên. Ví dụ, một kỹ thuật phổ biến trong các thuật toán xấp xỉ và độ phức tạp tham số hóa là (đại khái) để chứng minh rằng không gian giải pháp thực sự có thể bị giới hạn ở kích thước nhỏ hơn nhiều so với định nghĩa ngây thơ và sau đó sử dụng brute-force để tìm câu trả lời tốt nhất trong không gian hạn chế này . Nếu chúng ta có thể tiên nghiệm hạn chế mình để, nói, n ^ 3 câu trả lời có thể, nhưng chúng ta vẫn cần phải kiểm tra mỗi một, sau đó trong một ý nghĩa vấn đề như vậy là vẫn "cứng" ở chỗ không có thuật toán tốt hơn so với brute-force.

Ngược lại, nếu chúng ta gặp vấn đề với số lượng câu trả lời gấp đôi theo cấp số nhân, nhưng chúng ta có thể giải quyết nó chỉ trong thời gian theo cấp số nhân, thì tôi muốn nói rằng vấn đề như vậy là "dễ dàng" ("có cấu trúc" có thể tốt hơn từ) vì thời gian chạy chỉ là bản ghi của kích thước không gian giải pháp.

Có ai biết bất kỳ bài báo nào xem xét một cái gì đó như độ cứng dựa trên khoảng cách giữa thuật toán hiệu quả và lực lượng vũ phu hoặc độ cứng so với kích thước của không gian giải pháp không?

Một vấn đề với việc chính thức hóa câu hỏi là cụm từ "không gian giải pháp cho vấn đề A" không được xác định rõ. Định nghĩa của một không gian giải pháp cần một thuật toán xác minh , trong đó đưa ra một thể hiện và một giải pháp ứng cử viên, xác minh xem giải pháp đó có đúng hay không. Sau đó, không gian giải pháp của một cá thể wrt cho trình xác minh là tập hợp các giải pháp ứng cử viên làm cho đầu ra của trình xác minh "chính xác".

Ví dụ: lấy bài toán SAT0: đưa ra một công thức Boolean, nó có được thỏa mãn bởi phép gán all-zeroes không? Vấn đề này không đáng kể trong thời gian đa thức, nhưng không gian giải pháp của nó có thể thay đổi dữ dội, tùy thuộc vào trình xác minh bạn sử dụng. Nếu trình xác minh của bạn bỏ qua giải pháp ứng cử viên và chỉ kiểm tra xem tất cả các số 0 có hoạt động không, thì "không gian giải pháp" cho bất kỳ trường hợp SAT0 nào trên trình xác minh đó là tầm thường: đó là tất cả các giải pháp có thể. Nếu trình xác minh của bạn kiểm tra xem liệu giải pháp ứng viên có phải là một bài tập thỏa mãn hay không, thì không gian giải pháp của một trường hợp SAT0 thực sự có thể khá phức tạp, có thể phức tạp như bất kỳ không gian giải pháp nào của SAT.

$t(n,k)$$n$$k$$n$$k$$O(2^k t(n,k))$

$O(2^k t(n,k))$$2^n$

Bài viết cho thấy một số hậu quả thú vị của việc cải thiện tìm kiếm vũ phu cho một số vấn đề. Ngay cả việc cải thiện tìm kiếm vũ phu cho "không gian giải pháp kích thước đa thức" cũng có những hậu quả thú vị.

Làm thế nào bạn sẽ đối phó với các vấn đề lập trình động điển hình? Ở đây, điều thường xảy ra là không gian của các giải pháp tối ưu bị giới hạn về mặt đa thức, nhưng không gian của các giải pháp thì không. Vì vậy, nó có vẻ "dễ dàng" theo nghĩa của bạn bởi vì thời gian chạy là logarit trong không gian giải pháp, nhưng nó "cứng" theo nghĩa của bạn bởi vì nó chạy "lực lượng vũ phu" trên tất cả các giải pháp tối ưu tiềm năng.

Viễn cảnh dường như giả định một số thứ, như độ mịn của không gian giải pháp.

Ví dụ, suy nghĩ về vấn đề tạo ra một tàu Voronoi từ một tập hợp các điểm đầu vào. Ở đây có một không gian giải pháp có kích thước vô hạn vì mỗi điểm trong các cạnh của sơ đồ là một bộ số thực. Tuy nhiên, một giải pháp có thể đạt được trong O (n log (n)) về số lượng điểm đầu vào (đối với mặt phẳng).

Liên quan là các vấn đề thừa nhận thuật toán với độ trễ đa thức . Giải pháp đầu tiên, và mọi giải pháp sau đó, có thể được tạo ra trong thời gian đa thức. Johnson, Yannakakis và Papdimitriou thảo luận về khung này trong bối cảnh các khoảng trống khác có thể xảy ra (như tổng thời gian đa thức): Về việc tạo tất cả các bộ độc lập tối đa , thư xử lý thông tin 27 , 119 .123, 1988.