Xác suất của hai đỉnh được kết nối bởi một số đường dẫn trong đồ thị có hướng ngẫu nhiên

Xác định dưới dạng đồ thị có hướng ngẫu nhiên ( đỉnh; chúng ta đặt cạnh giữa hai đỉnh với xác suất ). $G(n, p)$ $n$ $p$

Các kết quả được biết đến cho vấn đề sau đây là gì:

Sửa hai đỉnh và . Xác suất có ít nhất một đường dẫn (có độ dài tối đa ) giữa và bao nhiêu? (rõ ràng kết quả phải là hàm của , và ). Giới hạn trên cũng sẽ hoạt động, nếu không có câu trả lời chính xác. $v$ $u$ $k$ $u$ $v$ $n$ $p$ $k$

— Daniel
nguồn

Những giá trị của bạn đang xem xét?

p

$p$

— Igor Shinkar

@IgorShinkar nó có nhiều khác biệt không? Tôi không có một con số cụ thể trong tâm trí; a chỉ là xác suất .

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— Daniel

Bạn đã thử sửa đổi cách tiếp cận Erdos-Renyi tiêu chuẩn chưa, và nếu có thì có những khó khăn gì?

— usul

Bạn đã xem xét tính toán số lượng đường dẫn dự kiến ? Điều đó sẽ dễ dàng hơn nhiều để tính toán / ước tính do tính tuyến tính của các kỳ vọng. Nó cũng sẽ là một proxy tốt cho xác suất có một con đường. tức là nếu số đường dẫn dự kiến là 0,01 thì với xác suất ít nhất 99% không có đường dẫn. Và nếu số lượng đường dẫn dự kiến là 100, thì tôi đoán có một đường dẫn có xác suất cao.

— Thomas

Đề nghị tốt Thomas. Chỉ để chắc chắn rằng tôi hiểu ý tưởng của bạn: Biểu thị số lượng đường dẫn có độ dài với . Số lượng đường dẫn dự kiến có độ dài là (phải không?). Xác định "X_i = (Y_i> 0)" cho thấy sự kiện có đường dẫn kích thước giữa hai đỉnh (sự tồn tại của đường dẫn). Tôi biết rằng , được giới hạn trên bởi . Điều này sẽ đưa ra giới hạn trên của trên .

i

$i$

Y_{i}

$Y_i$

i

$i$

E [Y_{i}] = (\binom{n - 2}{i - 1}) (i - 1)! p^{i}

$E[Y_i] = { n-2 \choose i-1} (i-1)! p^i$

i (i > 0)

$i (i > 0)$

P (X_{i}) = P (Y_{i} > 0) = \sum_{j = 1}^{\infty} P (Y_{i} = j)

$P(X_i) = P(Y_i > 0) = \sum_{j=1}^{\infty} P(Y_i = j)$

E [Y_{i}] = \sum_{j = 0}^{\infty} j . P (Y_{i} = j)

$E[Y_i] = \sum_{j=0}^{\infty} j. P(Y_i = j)$

\sum_{i = 1}^{k} E [Y_{i}]

$\sum_{i=1}^{k}E[Y_i]$

P (\lor_{i = 1}^{k} X_{i} = 1) = P (\lor_{i = 1}^{k} Y_{i} > 0)

$P( \vee_{i=1}^k X_i =1 ) = P( \vee_{i=1}^k Y_i >0)$

— Daniel

Hãy xem xét một quá trình thăm dò BFS, tiến hành trong giai đoạn. Đặt . Cho , khám phá tất cả các cạnh từ đến (trong đó là tập hợp của tất cả các đỉnh) và đặt bao gồm tất cả đỉnh đạt được trong thời trang này; số của chúng có phân phối nhị thức có thể dễ dàng tính được. Sau bước, kiểm tra xem đỉnh thuộc về . $k$ $V_0 = \{u\}$ $V_0,\ldots,V_i$ $V_i$ $V \setminus \bigcup_{j=0}^i V_j$ $V$ $V_{i+1}$ $k$ $v$ $\bigcup_{j=0}^k V_j$

Lưu ý rằng quá trình này là hoàn toàn giống nhau trong cả trường hợp không được hướng dẫn và trường hợp được chỉ đạo. Do đó, câu trả lời là gì, giống hệt nhau cho cả hai mô hình. Có lẽ trong trường hợp không mong muốn, câu trả lời đã được biết và có thể được tra cứu. Nếu không, bạn có thể thử ước tính nó bằng cách ước tính kích thướcvà vì vậy xác suấtrằng thuộc về . $|V_i|$ $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^k |V_i|$ $v$ $\bigcup_{i=1}^k V_i$

— Yuval Filmus
nguồn

Tại sao các downvote?

— Yuval Filmus

điều này sẽ đưa ra xác suất về một đường dẫn có độ dài chính xác k, không nhiều nhất là k; đúng không?

— Daniel

Như đã viết, nó dành cho biến thể "nhiều nhất".

— Yuval Filmus