Cải thiện mức giảm chung của Cook cho Clique to SAT?

Tôi quan tâm đến việc giảm -Clique thành SAT mà không làm cho ví dụ lớn hơn nhiều.$k$

Clique nằm trong NP nên có thể giảm xuống SAT bằng không gian logarit. Việc giảm bớt sách giáo khoa đơn giản của Garey / Johnson sẽ làm tăng thể tích lên kích thước khối . Tuy nhiên, -Clique nằm trong P cho mọi cố định nên "phải" giảm hiệu quả ít nhất là đối với cố định .k $k$$k$$k$

Một cách để xây dựng mức giảm là sử dụng các biến SAT làm vectơ đặc trưng , với một biến được đặt thành true chỉ ra rằng đỉnh liên kết nằm trong cụm. Việc giảm này là tự nhiên nhưng tạo ra một thể hiện SAT có kích thước bậc hai nếu đồ thị thưa thớt. Đối với một đồ thị thưa thớt, nhiều mệnh đề được yêu cầu để thực thi rằng trong mỗi cặp đỉnh không liền kề nhiều nhất một đỉnh có thể nằm trong cụm.

Hãy cố gắng làm tốt hơn .$O(n^2)$

Việc giảm chung của Cook / Schnorr / Pippenger / Fischer hoạt động bằng cách sử dụng NDTM giới hạn thời gian đa thức để quyết định ngôn ngữ, mô phỏng NDTM bằng DTM không biết, mô phỏng DTM bị lãng quên bằng mạch, sau đó mô phỏng mạch bằng 3 mạch -SAT dụ. Điều này tạo ra một thể hiện 3-SAT có kích thước nếu giới hạn thời gian NDTM là . Yếu tố log dường như không thể tránh khỏi do chi phí hoạt động khi mô phỏng bởi một cỗ máy lãng quên. Đối với -Clique, người ta dường như có , mang lại một thể hiện 3-SAT của kích thước , là chuẩn tinh cho cố địnht ( n ) k t ( n ) = O ( n k ) O ( n k ( log n + log k ) $O(t(n)\log t(n))$$t(n)$$k$$t(n) = O(nk)$$O(nk(\log n + \log k))$$k$. Trong bài báo năm 1988, Cook đã hỏi liệu có giảm bớt chung chung cho các ngôn ngữ trong NP hay không, và theo như tôi biết thì điều này vẫn còn mở. Tuy nhiên, Clique có rất nhiều cấu trúc nên có lẽ người ta có thể làm tốt hơn trong trường hợp này.

Có giảm bớt tốt hơn được biết từ Clique đến SAT?

Cụ thể, có thể cho cố định để giảm -Clique xuống SAT trong khi vẫn giữ mức tăng kích thước cá thể tuyến tính không? Hoặc người ta có thể sử dụng một kết quả hiện có để lập luận rằng điều này khó có thể xảy ra? Tôi đã thử sử dụng Fortnow / Santhanam và Dell / van Melkebeek nhưng các chi phí có vẻ quá lớn đối với những kết quả này để ám chỉ bất cứ điều gì cụ thể.$k$$k$

(Tôi đã làm việc với một mức giảm dường như để tránh yếu tố nhật ký, nhưng trước khi lãng phí nhiều thời gian hơn vào các chi tiết chính xác để xác minh tính chính xác của nó, tôi muốn biết liệu mức giảm như vậy đã được biết chưa, hoặc nếu không chắc là hiện hữu.)

Bạn có thể bày tỏ -clique như một ví dụ với SAT biến và mệnh đề. Đối với cố định , đây là tuyến tính trong .O ( n k ) O ( n k 2 ) k $k$$O(nk)$$O(nk^2)$$k$$n$

Đặt nếu là đỉnh thứ trong cụm (theo thứ tự sắp xếp theo từ vựng). Nói cách khác, là một mã hóa "một nóng" của đỉnh thứ trong cụm (nó là vectơ đặc trưng cho một tập hợp có một phần tử). Điều này giới thiệu các biến .v i x i i n $x_{iv}=1$$v$$i$$x_i$$i$$nk$

Bây giờ với mỗi bạn có thể thực thi rằng hai đỉnh tương ứng được kết nối bởi một cạnh, sử dụng mệnh đề. ví dụ: một mệnh đề là trong đó là các đỉnh liền kề với đỉnh . Bạn nhận được một mệnh đề trên mỗi đỉnh . Điều này giới thiệu tổng cộng các mệnh đề .n ( ¬ x i u ∨ x j v 1 ∨ ⋯ ∨ x j v m ) v 1 , ... , v m u u O ( n k 2$(i,j)$$n$$(\neg x_{iu} \lor x_{jv_1} \lor \dots \lor x_{jv_m})$$v_1,\dots,v_m$$u$$u$$O(nk^2)$

Đối với mỗi , bạn có thể thực thi rằng là một vectơ của Hamming weight 1 và , sử dụng mệnh đề . Điều này thêm tổng số mệnh đề .x i x i < x i + 1 O ( n ) O ( n k $i$$x_i$$x_i < x_{i+1}$$O(n)$$O(nk)$

Có thể làm tốt hơn bằng cách sử dụng các biến để biểu diễn các đỉnh trong cụm ( bit đủ để biểu diễn đỉnh thứ trong cụm) và sau đó xây dựng một mạch để kiểm tra xem một tập hợp các đỉnh tương ứng với một cụm. Một cách tiếp cận để xây dựng một mạch như vậy có thể là bằng cách xây dựng danh sách tất cả các cặp của các đỉnh này, theo thứ tự được sắp xếp, sau đó so sánh với danh sách các cạnh bằng thủ tục Hợp nhất từ ​​Mergesort, hoặc đại loại như cái đó. Có thể có được một cái gì đó giống như một mạch kích cỡ , sau đó chuyển thành một thể hiện SAT có cùng kích thước (trong đólg n i k k ( k - 1 ) / 2 O ( ( n + m + k 2 ) poly ( lg n ) ) m $k \lg n$$\lg n$$i$$k$$k(k-1)/2$$O((n+m+k^2) \text{poly}(\lg n))$$m =$số cạnh trong đồ thị). Tôi đã không cố gắng tìm ra các chi tiết để xem liệu nó thực sự có thể, mặc dù.