Thêm về PH trong PP?

Một câu hỏi gần đây của Huck Bennett hỏi liệu lớp PH có được chứa trong lớp PP hay không, đã nhận được câu trả lời hơi mâu thuẫn (tất cả đều đúng, có vẻ như vậy). Một mặt, một số kết quả tiên tri đã được đưa ra ngược lại, và mặt khác Scott cho rằng câu trả lời có khả năng là tích cực vì định lý của Toda cho thấy PH nằm trong BP.PP, biến thể xác suất của PP, và chúng tôi thường tin rằng ngẫu nhiên hóa không giúp được gì nhiều, ví dụ các giả định độ cứng hợp lý ngụ ý các PRG có thể thay thế ngẫu nhiên.

Bây giờ, trong trường hợp của PP, apriori không rõ ràng rằng ngay cả một PRG "hoàn hảo" cũng sẽ bao hàm quá trình khử cộng đồng hoàn toàn do quá trình khử cộng đồng tự nhiên sẽ chạy thuật toán ban đầu với đầu ra của PRG cho tất cả các hạt giống có thể đa số và được đa số phiếu bầu . Không rõ ràng rằng việc lấy phiếu đa số trong các tính toán PP là điều có thể được thực hiện trong chính PP. Tuy nhiên, một bài báo của Fortnow và Reingold cho thấy PP bị đóng cửa theo bảng giảm sự thật (mở rộng kết quả đáng ngạc nhiên là PP bị đóng dưới ngã tư), dường như đủ để lấy phiếu đa số này.

Vậy câu hỏi ở đây là gì? Toda, Fortnow-Reingold và tất cả các sự tách biệt dựa trên PRG, tất cả dường như tương đối hóa, do đó sẽ ngụ ý rằng PH trong PP cho mọi nhà tiên tri có PRG phù hợp tồn tại. Vì vậy, đối với tất cả các nhà tiên tri mà PP không chứa PH (ví dụ từ Minski & Papert, bởi Beigel hoặc Vereshchagin ), PRGs cho PP không tồn tại. Cụ thể, điều này ngụ ý rằng đối với các nhà tiên tri này, không có chức năng cứng thích hợp nào trong EXP (nếu không thì các PRG giống như NW-IW sẽ tồn tại). Nhìn vào mặt tích cực, điều này có nghĩa là ở đâu đó bên trong mỗi kết quả tiên tri này ẩn giấu một thuật toán PP (không đồng nhất) cho EXP (gần đúng) với EXP đó. Điều này là lạ vì tất cả các kết quả tiên tri này dường như dựa vào giới hạn PP mới(đối với các mạch ngưỡng) và là hướng thẳng trong máy móc xây dựng nhà tiên tri của họ, vì vậy tôi không thấy nơi giới hạn trên của PP ẩn. Có lẽ giới hạn trên này sẽ hoạt động chung cho thấy rằng (không đồng nhất) -PP có thể tính toán (hoặc ít nhất là đưa ra một số sai lệch trên) tất cả EXP? Sẽ không có cái gì đó giống như vậy cung cấp ít nhất một mô phỏng CH của EXP?

Vì vậy, tôi cho rằng câu hỏi của tôi là hai lần: (1) chuỗi lý luận này có hợp lý không? (2) Nếu vậy, thì ai đó có thể "khám phá" giới hạn trên ngụ ý cho PP không?

Chỉnh sửa bởi Aaron Sterling: đưa nó lên trang nhất và thêm tiền thưởng. Đây là một trong những câu hỏi yêu thích của tôi và nó vẫn chưa có câu trả lời.

— Buổi sáng
nguồn

f : {0, 1}^{N} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^N \rightarrow \{ 0,1\}$

A

$A$

L_{A} = {1^{n} | f (A_{n}) = 1}

$L_A= \{1^n | f(A_n)=1\}$

A_{n}

$A_n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

A

$A$

f \in A C 0

$f \in AC0$

L_{A} \in P H^{A}

$L_A \in PH^A$

A

$A$

t

$t$

A_{n}

$A_n$

n

$n$

t

$t$

1^{n} \in L_{A} ?

$1^n \in L_A?$

f

$f$

L_{A} \notin P P^{A}

$L_A \not\in PP^A$

L_{A} \in P P^{A} | p o l y

$L_A \in PP^A|poly$

L_{A} \notin P P^{A} / p o l y

$L_A \not\in PP^A/poly$

f

$f$

n

$n$

L_{A} = {x | f (A_{x}) = 1}

$L_A = \{ x | f(A_x)=1\}$

n

$n$

x

$x$

A_{x}

$A_x$

2^{n}

$2^n$

x y \in A

$xy \in A$

2^{n}

$2^n$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

N

$N$

f

$f$

N

$N$

f \in A C 0

$f \in AC0$

Hãy nghĩ về nó, quan sát rằng dưới mọi nhà tiên tri tạo ra PH / ⊆ PP, không có PRG hiệu quả nào đánh lừa các thuật toán BP.PP không có gì đáng ngạc nhiên hơn thực tế là dưới mọi nhà tiên tri tạo ra BPP / P đều có không có PRG hiệu quả đánh lừa các thuật toán BPP. Đó là bởi vì mọi nhà tiên tri tạo ra PH / ⊆ PP cũng tạo ra BP.PP / PP theo định lý của Toda (tương đối hóa). Nhưng có lẽ tôi đang thiếu điểm. -

— slimton

P^{A} \neq B P P^{A}

$P^A \ne BPP^A$

B P P^{A}

$BPP^A$

P^{A} / p o l y

$P^A/poly$

P H^{A} ⊈ P P^{A}

$PH^A \not\subseteq PP^A$

P^{A}

$P^A$

P P^{A}

$PP^A$

— Noam

Như tôi đã nhận xét ở trên: trong các công trình xây dựng cho , mấu chốt của công trình là mang lại sức mạnh "phi tự nhiên" cho BPP (và cả cho P / poly) bằng cách trồng nhiều nhân chứng cho nhà tiên tri cứng ở những nơi mà chỉ ngẫu nhiên có thể tìm thấy chúng. Vì vậy, trong khi điều thực sự thú vị là sức mạnh này đủ cho các vấn đề "chung" thì ít nhất sức mạnh bất ngờ của P / poly là rõ ràng. Mặt khác, trên thực tế, tôi không thể thấy bất cứ nơi nào mà nhà tiên tri tách PH khỏi PP mang lại sức mạnh phi tự nhiên cho P / poly hoặc bất kỳ lớp nào khác, trên thực tế. Tôi không chắc chắn rằng sự khác biệt này là "thực tế".

P \neq B P P

$P \ne BPP$

— Noam

Do công việc của Klivans và van Melkebeek (tương đối hóa), nếu E = DTIME ( ) không có mạch có cổng PP có kích thước thì PH nằm trong PP. Contrapositive nói rằng nếu PH không có trong PP thì E có các mạch có kích thước phụ với các cổng PP. Điều đó phù hợp với thực tế là một bằng chứng tiên tri về PH không có trong PP đưa ra giới hạn dưới tương đối hóa cho PP. Không có lý do để nghĩ rằng nó ngụ ý bất kỳ giới hạn trên cho PP, hoặc bất kỳ cường độ nào cho các mạch không có cổng PP. $2^{O(n)}$ $2^{o(n)}$

— Lance Fortnow
nguồn

Chính xác. Đã sửa.

— Lance Fortnow