Các hệ số Fourier Các hàm Boolean được mô tả bởi các mạch có độ sâu giới hạn với các cổng AND OR và XOR

Đặt $f$ là hàm Boolean và hãy nghĩ về f là hàm từ $\{-1,1\}^n$ đến $\{ -1,1 \}$ . Trong ngôn ngữ này, việc mở rộng Fourier của f chỉ đơn giản là sự mở rộng của f về các đơn thức tự do vuông. ( đơn thức này tạo cơ sở cho không gian của các hàm thực trên . Tổng bình phương của các hệ số chỉ đơn giản là do đó dẫn đến phân phối xác suất trên các đơn thức tự do vuông. Hãy gọi phân phối này là phân phối F.$2^n$$\{-1,1\}^n$$1$$f$

Nếu f có thể được mô tả bằng một mạch độ sâu giới hạn của kích thước đa thức thì chúng ta biết theo một định lý Linial, Mansour và Nisan rằng phân phối F tập trung vào các đơn thức có kích thước $\text{polylog } n$ lên đến trọng lượng gần như theo cấp số nhân. Điều này có nguồn gốc từ bổ đề chuyển đổi Hastad. (Một bằng chứng trực tiếp sẽ là mong muốn nhất.)

Điều gì xảy ra khi chúng ta thêm mod 2 cổng? Một ví dụ cần xem xét là hàm $IP_{2n}$ trên $2n$ biến được mô tả là sản phẩm bên trong mod 2 của n biến đầu tiên và n biến cuối. Ở đây phân phối F là thống nhất.

Câu hỏi : Liệu sản phẩm F-phân phối của một hàm Boolean mô tả bởi kích thước chặn sâu đa thức AND, OR, MOD 2 mạch tập trung (lên đến lỗi superpolynomially nhỏ) trên o ( n ) "mức độ"?$_2$$o(n)$

Nhận xét :

1. Một đường dẫn có thể đến một ví dụ mẫu là "keo bằng cách nào đó" nhiều IP 2 k khác nhau trên các bộ biến số khác nhau nhưng tôi không thấy cách thực hiện. Có lẽ người ta nên làm suy yếu câu hỏi và cho phép gán một số trọng số cho các biến, nhưng tôi cũng không thấy một cách rõ ràng để làm điều đó. (Vì vậy, đề cập đến hai vấn đề này cũng là một phần của những gì tôi đang hỏi về.)$_2k$

2. Tôi sẽ suy đoán rằng một câu trả lời tích cực cho câu hỏi, (hoặc cho một biến thể thành công) cũng sẽ được áp dụng khi bạn cho phép các cổng mod k . (Vì vậy, việc đặt câu hỏi đã được thúc đẩy bởi kết quả ACC ấn tượng gần đây của Ryan Williams.) $_k$

3. Đối với MAJORITY, phân phối F lớn (1 / poly) cho mỗi "cấp độ".

Như Luca thể hiện, câu trả lời cho câu hỏi tôi đã hỏi là "không". Câu hỏi còn lại là đề xuất các cách để tìm các thuộc tính của phân phối F của các hàm Boolean có thể được mô tả bằng AND OR và các cổng mod 2 không được chia sẻ bởi MAJORITY.

Một nỗ lực để lưu câu hỏi bằng cách nói về các chức năng MONOTONE:

Câu hỏi : Phân phối F của hàm MONOTONE Boolean được mô tả bởi kích thước đa thức độ sâu giới hạn AND, OR, MOD 2 có tập trung (lỗi tối đa siêu nhỏ) ở cấp độ o ( n ) không?$_2$$o(n)$

Chúng tôi có thể suy đoán rằng chúng tôi thậm chí có thể thay thế $o(n)$ bằng $\text{polylog} (n)$ để một ví dụ cho phiên bản mạnh mẽ này có thể thú vị.

Gil, cái gì đó như thế này sẽ là một ví dụ?

Đặt sao cho n = m + log m và nghĩ đầu vào n -bit là một cặp$m$$n=m+\log m$$n$ trong đó x là một chuỗi m-bit ( x 1 , Lỗi , x m ) và i là một số nguyên trong khoảng 1 , ... , m viết bằng nhị phân.$(x,i)$$x$$(x_1,\ldots ,x_m)$$i$$1,\ldots,m$

Sau đó, chúng tôi xác định $f(x,i):= x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$

Bây giờ cho mỗi hàm f () có 1 / m tương quan với nhân vật Fourier x 1 ⊕ ⋯ ⊕ x i , và do đó "mức độ i" có ít nhất một 1 / m 2 phần của khối lượng. (Trong thực tế nhiều hơn, nhưng điều này nên đủ)$i=1,\ldots,m$$1/m$$x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$$1/m^2$

f () có thể được nhận ra ở độ sâu-3: đặt tất cả các XOR vào một lớp, sau đó thực hiện "lựa chọn" trong hai lớp AND, OR và NOT (không tính các KHÔNG như thêm vào độ sâu, như thường lệ).