Mâu thuẫn giữa Định lý bất toàn thứ hai của Gôdel và tài sản của Giáo hội-Rosser của CIC?

Một mặt, Định lý bất toàn thứ hai của Gôdel nói rằng bất kỳ lý thuyết chính thức nhất quán nào đủ mạnh để diễn đạt bất kỳ tuyên bố số học cơ bản nào cũng không thể chứng minh tính nhất quán của chính nó. Mặt khác, tài sản của một hệ thống chính thức (viết lại) Giáo Hội-Rosser cho chúng ta biết rằng nó là phù hợp, theo nghĩa là không phải tất cả các phương trình là derivable, ví dụ, K tôi , vì họ không có cùng bình thường hình thức. $\neq$

Sau đó, tính toán các công trình quy nạp (CIC) rõ ràng phù hợp với cả hai điều kiện. Nó đủ mạnh để đại diện cho mệnh đề số học (trên thực tế, các -calculus thôi thì đã có thể mã hóa các chữ số Giáo Hội và đại diện cho tất cả các chức năng đệ quy nguyên thủy). Hơn nữa, CIC cũng có tài sản hợp lưu hoặc Church-Rosser. Nhưng: $\lambda\beta\eta$

CIC không thể chứng minh tính nhất quán của chính mình bằng định lý bất toàn thứ hai?

Hoặc nó chỉ tuyên bố rằng CIC không thể chứng minh tính nhất quán của chính nó trong hệ thống, và bằng cách nào đó, thuộc tính hợp lưu là một định lý meta? Hoặc có thể tài sản hợp lưu của CIC không đảm bảo tính nhất quán của nó?

Tôi sẽ đánh giá rất cao nếu ai đó có thể làm sáng tỏ những vấn đề đó!

Cảm ơn!

lo.logic type-theory lambda-calculus

— Loại sinh viên
nguồn

x \to y

$x \rightarrow y$

x, y \in X

$x, y \in X$

λ

$\lambda$

\neq

$\neq$

Tôi không biết gì về CIC, nhưng khả năng rõ ràng là nó không chứng minh được tài sản của Church-Rosser.

— Emil Jeřábek

Bình thường hóa mạnh mẽ sẽ gần hơn với tính nhất quán cho một lý thuyết loại không? CR ngụ ý rằng có những điều khoản không đồng đều, nhưng điều đó không loại trừ một cư dân trống. Bình thường hóa mạnh mẽ không thể chứng minh được bên trong đối với cic nên định lý Godels vẫn được giữ vững

— Daniel Gratzer

Trực giác là thông thường rất dễ cho thấy rằng không có đối tượng bình thường xấu trong hệ thống. Bây giờ nếu chúng tôi có thể chứng minh rằng tất cả các điều khoản có hình thức bình thường, chúng tôi đã hoàn thành. Các thuật toán chuẩn hóa là dễ dàng để chính thức hóa. Phần khó là cho thấy rằng nó chấm dứt. Nếu chúng ta có các hàm phát triển đủ nhanh bên trong hệ thống thì chúng ta có thể sử dụng chúng để chứng minh giới hạn trên về việc chấm dứt thuật toán chuẩn hóa. Tôi nghĩ cuốn sách cũ của Girard nên có những thứ này. Bằng chứng và các loại cũng có thể. (Bất kỳ tốt bằng chứng thuyết cuốn sách mà thảo luận về tổng các chức năng có thể xảy ra của một lý thuyết nên có nó.)

— Kaveh

$\beta\eta$ $\bot$ $\lambda$

Thứ hai, như Emil đã chỉ ra, ngay cả khi CIC có một tài sản nhất định (CR hoặc bình thường hóa) thì hoàn toàn có khả năng CIC không thể tự chứng minh tài sản đó. Trong trường hợp này, tôi không thấy bất kỳ sự mâu thuẫn nào trong thực tế là CIC có thể chứng minh tài sản CR của riêng mình và tôi đoán rằng đây thực sự là trường hợp (các đối số kết hợp cơ bản thường đủ cho CR, và các đối số như vậy chắc chắn nằm trong số rất lớn sức mạnh logic của CIC). Tuy nhiên, CIC chắc chắn không chứng minh được tính chất chuẩn hóa của chính nó, chính xác là do định lý không hoàn chỉnh thứ hai.

— Damiano Mazza
nguồn

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

λ

$\lambda$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$