Phân chia theo hai chức năng trong #P

Đặt là hàm có giá trị nguyên sao cho nằm trong . Nó có theo ở trong không? Có lý do để tin rằng điều này không có khả năng luôn luôn giữ? Bất kỳ tài liệu tham khảo tôi nên biết về? $F$ $2F$ $\#P$ $F$ $\#P$

Thật đáng ngạc nhiên, tình huống này đã xảy ra (với hằng số lớn hơn nhiều), cho hàm $F$ mà $F \in? \#P$ là một vấn đề mở cũ.

Lưu ý: Tôi biết về bài báo M. Ogiwara, L. Hemachandra, Một lý thuyết phức tạp cho các thuộc tính đóng cửa khả thi trong đó một vấn đề chia 2 có liên quan đã được nghiên cứu (xem Thm 3.13). Tuy nhiên, vấn đề của họ là khác nhau, vì họ xác định phân chia cho tất cả các chức năng thông qua toán tử sàn. Điều đó cho phép họ thực hiện một số giảm nhanh cho các vấn đề tương đương.

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

— Igor Pak
nguồn

@Kaveh: Nếu là hàm và là hàm đa thời gian, thì nằm trong , nhưng không nhất thiết (có lẽ). Ví dụ, dường như không có lý do tại sao tất cả các hàm GapP không âm phải nằm trong , nhưng chúng có thể rút gọn thành theo cách này.

f (x)

$f(x)$

# P

$\#P$

g (y)

$g(y)$

f (g (y))

$f(g(y))$

# P

$\#P$

g (f (x))

$g(f(x))$

# P

$\#P$

# P

$\#P$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

@JoshuaGrochow: Vâng, đó là "Chấp nhận nếu và chỉ khi bạn đoán cả hai nhân chứng 2F theo thứ tự từ điển".

@JoshuaGrochow Nếu bạn thực hiện phép chia với hàm sàn KHÔNG thì gọn thành lớp phức tạp sau, mà tôi vừa xác định, thông qua Định lý 5.9 trên sách TCTC. có một biến vị ngữ thời gian đa thức P và một đa thức q sao cho, với mọi , Sau đó, người ta cần chỉ ra thuộc hệ thống phân cấp phức tạp. vọng rằng trường hợp

P P

${\bf PP}$

U P P X = {L |

${\bf UPPX} = \{ L |$

x

$x$

1.

$\bf 1.$

x \notin L \Rightarrow | | {y |

$x \not \in L \Rightarrow ||\{y|$

| y | \leq q (| x |) \land P (x, y)} | | < 1

$|y|\leq q(|x|) \wedge P(x,y)\}|| < 1$

2.

$\bf 2.$

x \in L \Rightarrow | | {y |

$x \in L \Rightarrow ||\{y|$

| y | \leq q (| x |) \land P (x, y)} | | \geq 1

$|y|\leq q(|x|) \wedge P(x,y)\}|| \geq 1$

}

$\}$

U P P X

${\bf UPPX}$

U P P X = P P

${\bf UPPX} = {\bf PP}$

— Tayfun Pay

Thật khó để biết liệu một hàm trong #PP có luôn luôn không? Tôi hy vọng nó không thể giải quyết được.

— Peter Shor

@PeterShor: Điều đó chắc chắn không thể giải quyết được. Người ta có thể lấy một máy chấp nhận khi và chỉ khi nhân chứng đếm là tất cả 1 giây và cùng độ dài với đầu vào và M dừng lại trong các bước chính xác [chiều dài đó].

Tôi cố gắng đưa ra trực giác của mình tại sao tôi nghĩ rằng điều này khó có thể giữ được. Lấy vấn đề yêu thích của bạn trong và chuyển nó thành vấn đề trong , ví dụ: hàm của chúng ta có thể là số chu kỳ Hamilton trong đồ thị 3 đầu vào có một cạnh cố định nhất định. Từ lập luận chẵn lẻ chúng ta biết rằng luôn là thậm chí, vì vậy bạn có thể xác định và tôi thấy không có lý do tại sao sẽ là trong . $PPA$ $\sharp P$ $f$ $f$ $F:=f/2$ $F$ $\sharp P$

— động vật
nguồn

Đuợc. Giờ tôi đang bối rối. Không phải có ba chu kỳ Hamilton?

K_{4}

$K_4$

— Peter Shor

Được rồi ... Tôi đã kiểm tra. Định lý là mọi cạnh xuất hiện trong một số chẵn các chu kỳ Hamilton (không định hướng) trong đồ thị 3 thông thường, không phải là có một số chẵn của tổng số chu kỳ Hamilton. Vì vậy, vấn đề đếm đúng là: đưa ra một đồ thị ba chính quy và cạnh , gọi là số chu kỳ Hamilton trong đi qua . Là trong #P?

e

$e$

f

$f$

G

$G$

e

$e$

F / 2

$F/2$

— Peter Shor

Thật vậy, buồn cười mà không ai nhận thấy trước đó ... Tôi đã thêm nó.

— domotorp 14/2/2016

Mặc dù nhìn chung tôi đồng ý với trực giác của bạn, nhưng trong trường hợp này, tôi nghĩ rằng

thực sự có thể nằm trong #P: Đặt e = (v_1, v_2) là cạnh trong G. Hãy để bạn, là hàng xóm của v_1 mà không ' t v_2. Máy NP sau đây có đường dẫn chấp nhận f / 2: đoán chu trình Hamilton bao gồm cặp cạnh (u, v_1) và (v_1, v_2). (Vấn đề là bằng chứng về tính chẵn lẻ tạo ra một sự kết hợp giữa các chu kỳ Ham như vậy và các chu trình bao gồm (w, v_1) và (v_1, v_2).) Vì vậy, để trực giác hoạt động, bạn cần một thứ gì đó trong PPA đi qua, ví dụ một đối số đếm, hoặc điều đó tránh được một số sự dễ dãi ...

f / 2

$f/2$

— Joshua Grochow 14/2/2016

Thực tế là không đúng sự thật. Chẳng hạn, thật dễ dàng để kiểm tra xem nó có bị lỗi đối với tất cả các đồ thị 3 thông thường được kết nối trên 8 đỉnh không (xem en.wikipedia.org/wiki/Table_of_simple_cubic_graphs#8_nodes cho một danh sách), ngoại trừ khối lập phương (có tính chất chuyển tiếp cạnh) .

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica