Làm thế nào phổ biến là giai đoạn chuyển tiếp trong các vấn đề NP-đầy đủ?

Người ta biết rằng nhiều vấn đề hoàn thành NP thể hiện quá trình chuyển pha. Tôi quan tâm ở đây trong quá trình chuyển pha liên quan đến ngăn chặn trong ngôn ngữ, hơn là độ cứng của đầu vào, liên quan đến một thuật toán.

Để làm cho khái niệm rõ ràng, chúng ta hãy chính thức định nghĩa nó như sau. Một ngôn ngữ $L$ thể hiện sự chuyển pha (liên quan đến ngăn chặn), nếu

1. Có một tham số thứ tự $r(x)$ , là thời gian đa thức tính toán, hàm có giá trị thực của thể hiện.

2. Có một ngưỡng $t$ . Nó là một hằng số thực hoặc có thể phụ thuộc vào $n=|x|$, đó là, $t=t(n)$ .

3. Đối với hầu hết mọi với r ( x ) < t , chúng ta có x ∈ L . ( Hầu hết các phương tiện ở đây: tất cả nhưng vanishingly nhiều, có nghĩa là, tỷ lệ tiếp cận 1 khi n → ∞ ).$x$$r(x)<t$$x\in L$$n\rightarrow\infty$

4. Đối với hầu hết mọi với r ( x ) > t , chúng ta có x ∉ L .$x$$r(x)>t$$x\notin L$

5. Đối với hầu hết mọi , nó cho rằng r ( x ) ≠ t . (Nghĩa là, vùng chuyển tiếp là "hẹp.")$x$$r(x)\neq t$

Nhiều vấn đề hoàn thành NP tự nhiên thể hiện sự chuyển pha theo nghĩa này. Ví dụ có rất nhiều biến thể của SAT, tất cả các thuộc tính đồ thị đơn điệu, các vấn đề thỏa mãn ràng buộc khác nhau và có thể là nhiều biến thể khác.

Câu hỏi: Đó là một số ngoại lệ "tốt đẹp"? Có một vấn đề NP-đầy đủ tự nhiên, mà (có lẽ) không có sự chuyển pha theo nghĩa trên?

Các nhà nghiên cứu chuyên gia trong lĩnh vực này về cơ bản khẳng định rằng sự chuyển pha là một đặc điểm chung của các vấn đề hoàn chỉnh NP mặc dù điều này vẫn chưa được xây dựng / chứng minh nghiêm ngặt và nó chưa được xem xét / phổ biến rộng rãi trong lĩnh vực lớn hơn (nó phát ra nhiều hơn từ định hướng theo kinh nghiệm ngành học). nó gần như là một phỏng đoán mở. có bằng chứng mạnh mẽ. không có ứng cử viên hợp lý nào cho các vấn đề hoàn thành NP không chuyển pha. Dưới đây là hai ref hỗ trợ POV này:

• Chuyển pha trong các vấn đề hoàn thành NP: một thách thức đối với xác suất, tổ hợp và khoa học máy tính / Moore

• Hành vi chuyển pha / Walsh (ppt)

đây là một bản phác thảo sơ bộ về sự thật của sự khẳng định nó phải làm với P chứa trong NP hoàn tất. một vấn đề / ngôn ngữ hoàn chỉnh NP phải có các thể hiện có thể giải quyết được trong thời gian P và các ngôn ngữ khác có thể giải quyết được theo thời gian theo cấp số nhân (hoặc ít nhất là siêu chính trị-) nếu P ≠ NP. nhưng luôn phải có một số cách để "nhóm" các thể hiện P từ các thể hiện "không phải P". do đó, luôn phải có một số "tiêu chí chuyển tiếp" giữa các trường hợp P và không P. Nói tóm lại, có lẽ hiện tượng này được kết hợp chặt chẽ với P ≠ NP!

một lập luận sơ bộ khác: tất cả các vấn đề hoàn chỉnh NP đều có thể thay thế cho nhau thông qua việc giảm. nếu một giai đoạn chuyển tiếp được tìm thấy trong một lần duy nhất, thì nó phải được tìm thấy trong tất cả chúng.

bằng chứng hoàn cảnh hơn cho điều này, gần đây hơn (~ 2010) cho thấy quá trình chuyển pha xuất hiện cho các giới hạn thấp hơn trên các mạch đơn điệu để phát hiện cụm trên các biểu đồ ngẫu nhiên.

• Độ phức tạp trung bình của việc phát hiện các cửa hàng / Rossman

công bố đầy đủ: Moshe Vardi đã nghiên cứu các giai đoạn chuyển tiếp đặc biệt trong SAT và có quan điểm hoài nghi tương phản hơn trong cuộc nói chuyện / video này.

• Chuyển pha và độ phức tạp tính toán

$G_{n,m}$$n$$m$ mGn,$\binom{n}{2}$$m$$G_{n,m}$

Màu C của đồ thị thông thường D có một loạt các chuyển tiếp rời rạc, không đặc biệt theo từng giai đoạn, trừ khi bạn kéo dài.

Đây là bảng kết quả tô màu mà tôi sẽ nộp cho SAT17. Lưu ý rằng 3 màu của 6 biểu đồ thông thường là không thể ngoại trừ một vài ví dụ. Tương tự như vậy, 4 màu của đồ thị bậc mười ... Đồ thị C3D5N180 rất khó. Điểm vàng C4D9 chỉ tạm thời ở mức C4D9N180; Đồ thị C4D9 là 4cnfs khó nhất theo kích thước mà tôi đã gặp, do đó, C4D9 đủ điều kiện là "Điểm cứng". Điểm vàng C5D16 được phỏng đoán là tồn tại, nhưng sẽ ở khu vực điểm cứng từ 5 màu đến 6 màu.

          Universal Constants of Regular Graph Coloring

Công thức tô màu có các biến lgC trên mỗi đỉnh, với tổng số biến lgC * N; các cạnh có các mệnh đề C màu, cho tổng số các mệnh đề C * M. Có một vài mệnh đề bổ sung cho mỗi đỉnh để loại trừ các màu thừa. Điểm Vàng là N nhỏ nhất sao cho: Độ màu C trên đồ thị độ D với N đỉnh gần như luôn luôn thỏa đáng, với xác suất gần bằng 1. Đối với Xác suất cao, N trường hợp ngẫu nhiên là thỏa đáng. Đối với Rất cao, N * N là thỏa đáng. Đối với Super High, các trường hợp ngẫu nhiên N * N * N là thỏa đáng.

Điểm màu vàng có xác suất cao (1 - 1 / N) là:

C3D5N180 C4D6N18 C4D7N35 C4D8N60 C4D9N180? C5D10N25 C5D11N42 C5D12N72

Điểm màu vàng có xác suất rất cao (1 - 1 / (N * N)) là:

C3D5N230? C4D6N18 C4D7N36 C4D8N68 C4D9N ??? C5D10N32 C5D11N50 C5D12N78

Điểm màu vàng có xác suất siêu cao (1 - 1 / (N * N * N) là:

C3D5N ??? C4D6N22 C4D7N58 C4D8N72? C4D9N ??? C5D10N38 C5D11N58 C5D12N ??

Tất cả các trường hợp ngẫu nhiên trong nghiên cứu đều thỏa đáng. Các điểm xác suất tuyến tính đã kiểm tra hàng trăm công thức thỏa đáng. Các điểm xác suất bậc hai đã kiểm tra hàng chục ngàn công thức thỏa đáng. Các điểm xác suất khối đã kiểm tra hàng trăm ngàn công thức thỏa đáng. Các điểm C4D9 và C5D13 là khó khăn. Điểm C5D16 được phỏng đoán là tồn tại. Một ví dụ ngẫu nhiên năm mười sáu độ màu sẽ chứng minh sự phỏng đoán.