Thuộc tính đóng nhỏ mà rõ ràng là MSO rõ ràng

Dưới đây, MSO biểu thị logic thứ tự đơn thứ hai của đồ thị với định lượng đặt đỉnh và đặt cạnh.

Đặt là một họ đồ thị khép kín nhỏ. Nó xuất phát từ lý thuyết đồ thị nhỏ của Robertson và Seymour rằng F được đặc trưng bởi một danh sách hữu hạn H 1 , H 2 , . . . , H k của trẻ vị thành niên bị cấm. Nói cách khác, với mỗi đồ thị G , chúng ta có G thuộc về F khi và chỉ khi G loại trừ tất cả các đồ thị H i là vị thành niên.$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$$H_1,H_2,...,H_k$$G$$G$$\mathcal{F}$$G$$H_i$

Như một hệ quả của thực tế này, chúng ta có một công thức MSO đó là sự thật trên một đồ thị G nếu và chỉ nếu G ∈ F . Ví dụ, đồ thị phẳng được đặc trưng bởi sự vắng mặt của đồ thị K 3 , 3 và K 5 là vị thành niên, và do đó rất dễ viết một công thức MSO đặc trưng cho đồ thị phẳng.$\varphi_{\mathcal{F}}$$G$$G\in \mathcal{F}$$K_{3,3}$$K_5$

Vấn đề là đối với nhiều thuộc tính đồ thị nhỏ khép kín, danh sách các vị thành niên bị cấm là không xác định. Vì vậy, trong khi chúng ta biết rằng một công thức MSO đặc trưng cho họ đồ thị tồn tại, chúng ta có thể không biết công thức này là gì.

Mặt khác, nó có thể là trường hợp mà người ta có thể đưa ra một công thức rõ ràng cho một thuộc tính nhất định mà không sử dụng định lý đồ thị nhỏ. Câu hỏi của tôi liên quan đến khả năng này.

Câu hỏi 1: Có một họ đồ thị kín nhỏ , sao cho không biết được tập hợp các vị thành niên bị cấm, nhưng một số công thức MSO φ đặc trưng cho bộ đồ thị đó đã được biết?$\mathcal{F}$$\varphi$

Câu 2: Một số công thức MSO rõ ràng được biết là đặc trưng cho một số thuộc tính sau đây?$\varphi$

1. Chi 1 (biểu đồ có thể nhúng trong hình xuyến) (xem EDIT bên dưới)
2. Chi k cho một số cố định (xem EDIT bên dưới)$k>1$
3. k-ngoài hành tinh cho một số k > 1 cố định$k> 1$

Tôi sẽ đánh giá cao bất kỳ tài liệu tham khảo hoặc suy nghĩ về vấn đề này. Xin vui lòng xem xét các thuộc tính đóng nhỏ khác, danh sách đưa ra ở trên chỉ mang tính minh họa.

Quan sát: Theo rõ ràng tôi không có nghĩa là nhất thiết phải nhỏ. Nó là đủ để đưa ra một đối số rõ ràng hoặc thuật toán chỉ ra cách xây dựng công thức đặc trưng cho thuộc tính đã cho. Tương tự như vậy, trong bối cảnh của câu hỏi này, tôi cho rằng một gia đình vị thành niên bị cấm sẽ được biết đến nếu người ta đưa ra một thuật toán rõ ràng xây dựng gia đình đó.

EDIT: Tôi đã tìm thấy một bài báo của Adler, Kreutzer, Grohe xây dựng một công thức mô tả các biểu đồ của chi dựa trên các công thức mô tả các biểu đồ của chi k-1. Vì vậy, bài viết này trả lời hai mục đầu tiên của Câu hỏi 2. Mặt khác, điều này không trả lời Câu hỏi 1 vì thực sự có một thuật toán xây dựng cho mỗi k, họ của các vị thành niên bị cấm mô tả biểu đồ của chi k (Xem phần 4.2). Do đó, gia đình này được "biết đến" theo nghĩa của câu hỏi.$k$

Tôi đã có một câu trả lời ở đây liên quan đến đồ thị đỉnh, nhưng nó không định nghĩa được việc không có một bộ cản trở rõ ràng được đưa ra trong câu hỏi này: có một thuật toán được công bố để tìm bộ tắc nghẽn, mặc dù quá chậm để chúng ta không thực sự biết những gì cản trở thiết lập là.

Vì vậy, đây là một họ các câu trả lời có thể tham số hóa mà không có lỗ hổng đó (ít nhất, theo như tôi biết). Với trẻ vị thành niên đóng gia đình , và một số nguyên k ≥ 1 , không đồ thị cho G Have A k -ply bao gồm đồ thị trong F ? Phần lớn về loại câu hỏi này vẫn chưa được biết: cụ thể, phỏng đoán của Negami, đặc trưng cho các biểu đồ có biểu đồ bao phủ phẳng, vẫn chưa được chứng minh. Và nó đóng nhỏ vì bất kỳ bước nào bạn thực hiện để tạo vị thành niên từ G đều có thể được sao chép trong trang bìa.$F$$k\ge 1$$G$$k$$F$$G$

Để kiểm tra sự tồn tại của vỏ -ply của G trong F , trong MSO 2 , hãy thực hiện các bước sau:$k$$G$$F$$_2$

• Sử dụng các trick sâu-đầu-search-cây để có được một (tùy ý) định hướng của .$G$
• Đối với mỗi cặp với 0 ≤ i , j < k , chọn một tập các cạnh trong G , được cho là những người mà có một lợi thế cạnh che mà đi từ lớp tôi đến lớp j .$(i,j)$$0\le i,j<k$$G$$i$$j$
• $G$
• $F$