Có một kết quả trong lý thuyết tính toán mà không tương đối?

Tôi đang đọc bài viết Những bước đầu tiên trong lý thuyết tính toán tổng hợp của Andrej Bauer . Trong phần kết luận, ông lưu ý rằng

Phép tiên đề của chúng tôi có giới hạn của nó: nó không thể chứng minh bất kỳ kết quả nào trong lý thuyết tính toán mà không tương quan với các tính toán tiên tri. Điều này là như vậy bởi vì lý thuyết có thể được giải thích trong một biến thể của các topos hiệu quả được xây dựng từ các hàm đệ quy một phần với quyền truy cập vào một nhà tiên tri.

Điều này làm tôi tự hỏi về kết quả không tương đối trong khả năng tính toán. Tất cả các kết quả mà tôi biết từ lý thuyết tính toán có liên quan đến tính toán với các phép lạ.

Có kết quả trong lý thuyết tính toán mà không tương đối? Tức là kết quả giữ cho khả năng tính toán nhưng không giữ cho khả năng tính toán liên quan đến một số lời tiên tri?

Theo kết quả, tôi có nghĩa là một định lý đã biết trong lý thuyết tính toán, không phải là một số tuyên bố nấu chín. Nếu khái niệm tương đối hóa không có ý nghĩa đối với kết quả thì đó không phải là điều tôi đang tìm kiếm.

Cũng rất thú vị để biết liệu kết quả có thể được nêu trong ngôn ngữ của Lý thuyết tính toán tổng hợp hay không.

computability relativization

— Vô danh
nguồn

Mọi người đều biết về kết quả không tương đối hóa trong lý thuyết phức tạp như IP = PSPACE. Tôi đang hỏi về lý thuyết tính toán không tương đối nối lại , không phải là kết quả lý thuyết phức tạp .

— Ẩn danh

@Erfan: Nhận xét của bạn không liên quan đến câu hỏi. Câu hỏi của tôi là về lý thuyết tính toán, bạn đang nói về lý thuyết phức tạp. Tôi đang tìm kiếm các kết quả không liên quan, định lý hierachy thời gian không tương đối. Nếu bạn có một câu hỏi về định lý phân cấp thời gian và tính tương đối hóa, bạn có thể đăng một câu hỏi riêng.

— Ẩn danh

Những thứ liên quan: phỏng đoán Đồng nhất do H. Rogers xây dựng đã được bác bỏ ở Richard A. Shore; Giả thuyết đồng nhất (1979): tồn tại mức độ Turing

sao cho

không đồng hình với

(cấu trúc của độ Turing với bậc một phần

). Xem một câu hỏi tương tự trên lo.logic

a

$\mathbf{a}$

D (\geq a)

$\mathcal{D}(\geq \mathbf{a})$

D

$\mathcal{D}$

\leq_{T}

$\leq_{T}$

— Marzio De Biasi

Câu hỏi hay :-)

— Andrej Bauer

@Marzio: Thú vị. " Vì vậy, phương tiện này rằng có một trật tự câu đầu tiên trong ngôn ngữ duy nhất có chứa đó là sự thật về độ Turing, nhưng đó là sai lầm nếu bạn tương đối hóa câu với Turing các bằng cấp cho một số (và tất nhiên , làm việc trong độ Turing là tương đương với việc tất cả các máy Turing tiếp cận với là một lời sấm) Do đó, bằng chứng đó. là lon thật không được tương đối hóa để . $\varphi$ $\leq_T$ $\geq_Tx$ $x$ $\geq_Tx$ $x$ $\varphi$ $x$ "Nhưng

φ

$\varphi$ không phải là thực sự là một kết quả trong computability lý thuyết, nó được nấu cho một định lý meta.

— Ẩn danh

Câu trả lời:

Định lý nhúng của Higman: Các nhóm được trình bày một cách có tính toán chính xác là các nhóm được tạo một cách chính xác của các nhóm được trình bày chính xác. Hơn nữa, mỗi nhóm được trình bày tính toán (ngay cả những nhóm được tạo ra một cách có thể đếm được) là một nhóm nhỏ của một nhóm được trình bày chính xác.

Lưu ý rằng tuyên bố này có thể tương đối hóa để: "The nhóm -computably giới (với một số oracle ) là chính xác các phân nhóm hữu hạn tạo ra các nhóm hữu hạn được trình bày", nhưng không, như người ta có thể chứng minh rằng đối với một số uncomputable có nhóm trình bày tính toán mà không được trình bày tính toán. $O$ $O$ $O$ $O$

Thật vậy, tôi nghĩ rằng bất kỳ phi relativizing kết quả của lý thuyết computability phải có một cái gì đó của hương vị này, như một số phần của kết quả hoặc bằng chứng của nó phải bằng cách nào đó "móng tay xuống" computability đúng từ computability với oracle . Trong trường hợp này, chính sự hữu hạn làm giảm "tính toán thực tế". Lưu ý rằng, như Scott Aaronson yêu cầu, kết quả này là bất biến đối với bất kỳ mô hình tính toán thông thường nào (máy Turing, RAM, v.v.), nhưng không tương đối hóa (một lần nữa, bởi vì tất cả các mô hình tính toán "thực tế" thông thường đều chia sẻ một số "tài sản hữu hạn" chung. $O$

Mặt khác, người ta có thể lập luận rằng "không tính" cho câu hỏi này, vì nó gần giống với định nghĩa về khả năng tính toán bằng cách sử dụng các nhóm hơn là "kết quả của lý thuyết tính toán". Mặt khác, đó là một định nghĩa về khả năng tính toán mạnh mẽ để mô hình hóa nhưng điều đó không tương đối . (Ngược lại, giả sử, đặc trưng của Kleene về các chức năng tính toán dễ dàng tương đối hóa, bằng cách thêm chức năng đặc trưng của nhà tiên tri của bạn vào tập hợp các hàm tạo. Có vẻ như không có hoạt động tương tự nào cho các nhóm trong bối cảnh Higman Nhúng.)

— Joshua Grochow
nguồn

Có phải sự hữu hạn (so với vô hạn) phân biệt ví dụ của bạn, hay tính đếm được (so với không thể đếm được)?

— András Salamon

Xin lỗi vì sự thiếu hiểu biết của tôi, nhưng là đồng phục định lý của Higman? Tức là, được đưa ra một nhóm được trình bày tính toán, chúng ta có thể tính toán thống nhất một nhóm được tạo ra có chứa nó không?

— Andrej Bauer

Ooops, xin vui lòng thay thế "được tạo ra một cách hữu ích" bằng "trình bày chính xác" trong câu hỏi của tôi. Đó là một lỗi nhỏ. Điều tôi băn khoăn là liệu chúng ta có thể thay thế "trình bày chính xác" bằng một cái gì đó chung chung hơn một chút không.

— Andrej Bauer

@AndrewMorgan: Tôi đồng ý với việc bắt đầu cuộc tranh luận của bạn nhưng không đồng ý với kết luận của bạn. Nó thường khá hữu ích khi

là

-complete. Tôi không nghĩ về sự tương đối hóa của Cook-Levin hoàn toàn không tự nhiên ... Tôi rất thích đề xuất của Andrej và chúng tôi sẽ nghĩ về điều đó ...

S A T^{O}

$SAT^O$

N P^{O}

$NP^O$

— Joshua Grochow

@AndrewMorgan: Đồng ý. Tôi nghĩ rằng chi nút thắt sẽ là một ứng cử viên tốt :).

— Joshua Grochow

Đây là điều mà tôi thường tự hỏi là tốt!

Nếu theo "kết quả trong lý thuyết tính toán", bạn có nghĩa là kết quả bất biến đối với việc lựa chọn kiểu máy (máy Turing, máy RAM, v.v.), thì tôi không biết một ví dụ duy nhất về kết quả như vậy và tôi chắc chắn sẽ nhớ nếu tôi nhìn thấy một.

Câu hỏi gần nhất tôi có thể gợi ý cho một câu trả lời là: Tôi nghĩ có nhiều câu hỏi thú vị trong lý thuyết tính toán có thể phụ thuộc vào mô hình máy. Ví dụ: là hàm Busy Beaver, với định nghĩa thông thường của nó về các máy Turing, có thường là số lẻ không? Giá trị của BB (20) có độc lập với ZFC không? Dù câu trả lời cho những câu hỏi này là gì, chúng chắc chắn có thể khác nhau đối với các tương tự tương đối hóa của hàm BB.

— Scott Aaronson
nguồn

Đây là một ví dụ tầm thường ít nhiều: Hãy xem xét vấn đề tạm dừng đối với các máy Turing bị cấm đặc biệt (theo định nghĩa của mô hình tính toán) khi truy cập vào một nhà tiên tri. Nó là không thể giải quyết được cả hai không có lời tiên tri và một lời sấm tầm thường, nhưng nó có thể quyết định liên quan đến một lời tiên tri cho vấn đề tạm dừng. (Bản thân vấn đề không thay đổi liên quan đến một nhà tiên tri vì nó không thể truy cập vào nhà tiên tri, nhưng TM (không bị hạn chế) quyết định vấn đề trở nên mạnh mẽ hơn nhờ nhà tiên tri.)

Có rất nhiều ví dụ khác. Chỉ cần chơi với mô hình tính toán một chút và bạn có thể tìm thấy kết quả tương tự khác.

— Philip White
nguồn

Chỉ tò mò: chính xác những gì sai với câu trả lời này? Có lẽ các downvoters không tin rằng có thể cấm một máy Turing truy cập vào một nhà tiên tri và yêu cầu giải thích thêm về điều này?

— Philip White

Nó dường như không phải là một định nghĩa tương đối công bằng để cho phép máy có một nhà tiên tri nhưng sau đó không cho phép nó sử dụng nhà tiên tri.

— David Eppstein

Thú vị mặc dù không phải là những gì tôi đang tìm kiếm. Tôi đang tìm kiếm một kết quả đã biết trong lý thuyết tính toán không tương đối hóa, không phải là một lập luận cho cách nấu kết quả như vậy.

— Ẩn danh

Hãy xem xét tuyên bố sau: H (vấn đề tạm dừng đối với máy Turing không có phép lạ) là không thể tính toán được. Mặt khác, H có thể tính toán được liên quan đến một lời tiên tri về vấn đề tạm dừng. Ngay cả khi chúng ta coi đây là một cách tương đối hóa tuyên bố thì nó cũng không phải là một điều thú vị. Có lẽ có một cách tương tự để tương đối hóa bất kỳ tuyên bố nào làm cho nó sai. Một thuyết tương đối hóa không chỉ là gắn một lời sấm truyền ở đâu đó. Một thuyết tương đối hóa rất thú vị khi nó bảo tồn một số lớp đối số thú vị, vì vậy nếu một câu lệnh không tương đối hóa, chúng ta biết rằng lớp đối số không thể chứng minh được câu lệnh.

— Kaveh

Lấy ví dụ phương pháp tương đối hóa trong BGS. Thật thú vị vì nó bảo tồn các đối số đường chéo đơn giản để chúng không thể giải quyết P so với NP. Nếu một thuyết tương đối hóa không bảo tồn các đối số như vậy thì có lẽ đó không phải là một cách thú vị của các tuyên bố tương đối hóa. Một thuyết tương đối tốt nên kiên trì càng nhiều lý lẽ đã biết và kết quả đã được chứng minh càng tốt, nó càng bảo tồn càng ít thú vị.

— Kaveh