Giải quyết tái phát

Làm thế nào tôi có thể giải quyết mối quan hệ tái phát sau đây?

f (n) = f (n - 1) + f (n - \log n)

$f(n) = f(n-1) + f(n - \log n)$

recursion

— bánh bao mobius
nguồn

Bạn nhận được gì nếu bạn thử

? Có vẻ như bạn sẽ nhận được một giới hạn thấp hơn của

f (n) = 2 f (n - \log n)

$f(n) = 2f(n - \log n)$

2^{Ω (n / \log n)}

$2^{\Omega(n/\log n)}$

— Chandra Chekuri

@ChandraChekuri ơi, thật tuyệt! Và có một trên ràng buộc của

: chúng tôi sử dụng tái phát

lần, và nhận được rằng

. Sau đó chúng ta áp dụng điều này

lần và nhận được

2^{O (n \log \log n / \log n)}

$2^{O(n \log \log n / \log n)}$

\log n

$\log n$

f (n) \leq (1 + \log n) f (n - \log n)

$f(n) \le (1 + \log n) f(n - \log n)$

n / \log n

$n / \log n$

. Vì vậy, khoảng cách giữa giới hạn trên và giới hạn dưới chỉ là

theo số mũ. Điều này thực sự đủ cho mục đích của tôi, nhưng tôi sẽ bỏ ngỏ câu hỏi trong trường hợp ai đó muốn và có thể thu hẹp khoảng cách. Cảm ơn bạn rất nhiều, Chandra!

f (n) \leq (1 + \log n)^{n / \log n} = 2^{O (n \log \log n / \log n)}

$f(n) \le (1 + \log n)^{n / \log n} = 2^{O(n \log \log n / \log n)}$

\log \log n

$\log \log n$

— bánh bao mobius

Vâng, các trick cùng mang lại cho

, do đó

f (n) \geq (\log n) f (n - 2 \log n)

$f(n)\ge(\log n)f(n-2\log n)$

f (n) = 2^{Θ (n \log \log n / \log n)}

$f(n)=2^{\Theta(n\log\log n/\log n)}$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

f (n) = 2^{Θ (n \log \log n / \log n)} .

$f(n) = 2^{\Theta(n \log \log n / \log n)} \ .$

$\log n$

f (n) = 2 f (n - \log n) + f (n - \log n - 1) + \dots + f (n - 2 \log n) \geq \log n \cdot f (n - \log n) .

$f(n) = 2f(n - \log n) + f(n - \log n - 1) + \ldots + f(n - 2 \log n) \ge \log n \cdot f(n - \log n) \ .$

n / \log n

$n / \log n$ lần, và chúng tôi nhận được rằng giải pháp là

2^{Ω (n \log \log n / \log n)}

$2^{\Omega(n \log \log n / \log n)}$ .

Để có được giới hạn trên, sử dụng tái phát $\log n$ lần và có được điều đó

f (n) \leq (đăng nhập n + 1) \cdot f (n - đăng nhập n) .

$f(n) \le (\log n + 1) \cdot f(n - \log n) \ .$ Sử dụng bất đẳng thức này

n / \log n

$n / \log n$ lần, và chúng tôi nhận được rằng giải pháp là

2^{O (n \log \log n / \log n)}

$2^{O(n \log \log n / \log n)}$ .

— bánh bao mobius
nguồn