Phân vùng hình chữ nhật mà không làm hại hình chữ nhật bên trong

là một hình chữ nhật song song trục.$C$

là hình chữ nhật trục song song cặp-nội thất-rời nhau như vậy mà C 1 ∪ ⋯ ∪ C n ⊊ C , như thế này:$C_1,\dots,C_n$$C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

Một phân vùng hình chữ nhật bảo quản của là một phân vùng C = E 1 ∪ ⋯ ∪ E N , sao cho N ≥ n , các E i là cặp-nội thất-rời nhau hình chữ nhật trục song song, và cho mọi i = 1 , ... , n : C i ⊆ E i , nghĩa là, mỗi hình chữ nhật hiện có được chứa trong một hình chữ nhật mới duy nhất, như thế này:$C$$C = E_1\cup\dots\cup E_N$$N\geq n$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i \subseteq E_i$

Một thuật toán để tìm một phân vùng bảo tồn hình chữ nhật với một nhỏ là gì?$N$

Cụ thể, có một thuật toán để tìm phân vùng bảo quản hình chữ nhật với các phần không?$N=O(n)$

TRẢ LỜI MỚI: thuật toán đơn giản sau đây là tối ưu không có triệu chứng:

Kéo dài mỗi hình chữ nhật $C_i$ tùy ý, đến mức tối đa có thể sao cho hình chữ nhật vẫn tách rời nhau.

Số lượng lỗ nhiều nhất là $k-2$ . Đây là tiệm tối ưu, như có cấu hình trong đó số lỗ ít nhất là $k-O(\sqrt k)$.

Bằng chứng là trong bài báo này .

TRẢ LỜI:

Thuật toán sau, trong khi không tối ưu, rõ ràng là đủ để tìm phân vùng bảo tồn hình chữ nhật với các phần $N=O(n)$ .

Các thuật toán làm việc với một đa giác thẳng $P$ , được khởi tạo hình chữ nhật $C$ .

Giai đoạn 1: Chọn một hình chữ nhật $C_i$ tiếp giáp với ranh giới phía tây của $P$ (nghĩa là không có hình chữ nhật $C_j$ giữa phía tây của $C_i$ và ranh giới phía tây của $P$ ). Nơi $C_i$ trong $P$ và kéo dài cho đến khi nó chạm vào ranh giới phía tây của $P$ . Đặt $E_i$ (với $i=1,\dots,n$ ) là phiên bản kéo dài của $C_i$ . Hãy để $P=P\setminus E_i$. Lặp lại Giai đoạn 1 $n$ lần cho đến khi tất cả $n$ hình chữ nhật ban đầu được đặt và kéo dài. Trong hình bên dưới, thứ tự có thể đặt các hình chữ nhật là $C_1,C_2,C_4,C_3$ :

Bây giờ, $P$ là một đa giác trực tràng (có thể bị ngắt kết nối), như thế này:

Tôi khẳng định rằng số đỉnh lõm trong $P$ nhiều nhất là $2n$ . Điều này là do, bất cứ khi nào một hình chữ nhật kéo dài được xóa khỏi $P$ , có 3 khả năng:

• 2 đỉnh lõm mới được thêm vào (như khi đặt $C_1,C_4$ );
• $C_3$
• $C_2$

$P$

$2n+1$$N\leq 3n+1$

$N=13$$N=5$

A. Thuật toán này có đúng không?

$N$