Các lớp đồ thị với treewidth siêu

Có một số lớp đồ thị thú vị với giới hạn treewidth. Ví dụ: cây (treewidth 1), chuỗi đồ thị song song (treewidth 2), đồ thị ngoài cùng (treewidth 2), đồ thị -outerplanar (treewidth O (k)), đồ thị của độ rộng nhánh (treewidth O (k)), .. .$k$$k$

Câu hỏi: Có những ví dụ về các lớp học thú vị của đồ thị mà treewidth không được bao bọc bởi một hằng số, nhưng bởi một hàm thấp ngày càng tăng?

1. Có các lớp biểu đồ nổi tiếng với treewidth không?$O(\log\log n)$
2. Có các lớp biểu đồ nổi tiếng với treewidth không?$O(\log n)$

Tôi cũng sẽ quan tâm đến các lớp biểu đồ với treewidth hoặc trong đó logarit được lặp lại với số lần không đổi.$O(\log^k n)$$O(\log\log...n)$

Obs: Dĩ nhiên là nó rất dễ dàng để nấu lên các gia đình nhân tạo của đồ thị với một treewidth nhất định, giống như gia đình củalưới điện. Vì vậy, tôi chủ yếu tìm kiếm họ đồ thị đã được nghiên cứu trong các nhánh khác của lý thuyết đồ thị và tình cờ có treewidth hoặc , nhưng treewidth không đổi.$\;O(\log n)\times n\;$$O(\log n)$$O(\log\log n)$

Tôi tin rằng các đồ thị phổ quát cho các cây được xây dựng bởi Chung và Graham 1983 có treewidth . Hoặc đối với một ví dụ đơn giản hơn nhưng tương tự, hãy xem xét việc đóng cửa bắc cầu của cây nhị phân cân bằng.$\Theta(\log n)$

Tuy nhiên, cũng có một kết quả tiêu cực ở đây. Tất cả các ví dụ bạn đưa ra về các gia đình đồ thị thú vị là đóng nhỏ, hoặc liên quan rất chặt chẽ với các gia đình đóng nhỏ. Nhưng một họ đồ thị đóng nhỏ có chứa tất cả các đồ thị phẳng (và do đó có treewidth tối đa ) hoặc có một mặt phẳng phụ bị cấm (và do đó có giới hạn treewidth).$\Theta(\sqrt n)$