SAT trong lý thuyết mô hình hữu hạn mà không có trật tự

Nó được biết đến trong lý thuyết mô hình hữu hạn rằng không có một trật tự trên đầu vào, tính biểu cảm là rất hạn chế. Ví dụ: người ta biết rằng bằng với PSPACE và (không có bất kỳ thứ tự nào trong đầu vào) chỉ liên quan đến PSPACE , một khái niệm được xác định bởi Abiteboul và Vianu khi họ chứng minh định lý của họ: iff . (Tương đương P = PSPACE iff P -relational = PSÄCE -relatic.)F O ( PFP ) F O ( IFP , < ) = F O ( PFP , < ) F O ( IFP ) = F O ( PFP$FO(<,\textit{PFP})$$FO(\textit{PFP})$$FO(\textit{IFP},<)=FO(\textit{PFP},<)$$FO(\textit{IFP})=FO(\textit{PFP})$

Máy quan hệ là máy Turing có số lượng quan hệ hữu hạn. Như trong một cơ sở dữ liệu, một mối quan hệ là một tập hợp các yếu tố từ một vũ trụ hữu hạn. Máy có thể kiểm tra xem một mối quan hệ có trống không (nếu một bảng trống), thực hiện các hoạt động Boolean qua các mối quan hệ (liên kết, giao nhau, nối, chiếu) và các hoạt động của máy Turing thông thường. Lưu ý rằng đầu vào của các máy quan hệ được đưa ra trong các mối quan hệ chứ không phải trên băng. Người ta biết rằng mối quan hệ PSPACE ( ) thậm chí không thể tính được tính chẵn lẻ, do đó ít biểu cảm hơn PSPACE .$FO(\textit{PFP})$

Người ta có thể định nghĩa các truy vấn với các máy quan hệ, nhưng người ta cũng có thể định nghĩa các hàm, câu trả lời của hàm là nội dung của một số quan hệ và của băng ở cuối tính toán. Một máy như vậy có đặc tính là nếu có hai phần tử và của đầu vào sao cho có một đẳng cấu gửi đến và đến , thì không bao giờ có thể phân biệt với . Đặc biệt trong mọi quan hệ của đầu ra, nếu là đúng, thì cũng vậy.b ϕ a b b a a b R R ( a , ¯ $a$$b$$\phi$$a$$b$$b$$a$$a$$b$$R$$R(a,\overline x)$$R(b,\phi(\overline x))$

Lý do cho điều này là các hoạt động được phép (liên kết, giao nhau, chiếu và tham gia) đều tôn trọng sự đồng hình. Do đó, đầu ra tôn trọng mọi đẳng cấu được tôn trọng bởi đầu vào.

Trong , một và b là đối xứng, và các chức năng φ chuyển đổi một và b rõ ràng là một đẳng cấu của đầu vào. Giả sử tồn tại một hàm để tính toán các phép gán thỏa mãn cho các trường hợp 3 - S A T và có đầu ra là P (tập hợp các biến được gán thành true trong một phép gán đúng). Sau đó, chúng ta sẽ muốn có P = { a } hoặc $(a\lor b)\land(\neg a\lor\neg b)$$a$$b$$\phi$$a$$b$$3-SAT$$P$$P=\{a\}$ . Tuy nhiên, đẳng cấu có nghĩa là P chứa cả a và b hoặc không.$P=\{b\}$$P$$a$$b$

Do đó, chúng tôi đã chứng minh rằng không có chức năng liên quan đến PSPACE có thể xuất ra một phép gán cho thể hiện 3-SAT.

Câu hỏi của tôi là: làm thế nào để bạn chứng minh rằng không có mối quan hệ PSPACE (tức là ) chỉ chấp nhận đầu vào có nhiệm vụ thỏa mãn? Câu hỏi thì khác, vì tôi không có ý định tính toán bài tập và tôi không yêu cầu xem a hoặc b trong đầu ra, tôi chỉ muốn thấy "chấp nhận" hoặc "từ chối. Và trái với thế giới thông thường của máy Turing , nó không tương đương để biết câu trả lời có tồn tại hay không và tìm câu trả lời, bởi vì không có cách nào để chúng tôi sử dụng máy quan hệ của mình cho câu hỏi "có câu trả lời nào với a = t r u e " không vì chúng tôi không thể phân biệt được $FO(\textit{PFP})$$a$$b$$a=true$$a$từ .$b$

Phương pháp tiêu chuẩn cho hiển thị kết quả inexpressibility cho FO (PFP) (và cho FO (LFP), bằng cách này) là bằng cách sử dụng thực tế là FO (PFP) được nhúng vào trong logic infinitary hữu hạn biến . Dưới đây L w ∞ w là đoạn hữu hạn biến của L ∞ w , nơi sau này là các lớp (infinitary) công thức xây dựng từ các nguyên tử bằng phương pháp phủ nhận, disjunctions finitary hoặc infinitary và liên từ của các loại ⋁ i φ i và ⋀ i ϕ i , và định lượng phổ biến và phổ biến. Logic L k ∞ $\mathrm{L}^\omega_{\infty\omega}$$\mathrm{L}^\omega_{\infty\omega}$$\mathrm{L}_{\infty\omega}$$\bigvee_i \phi_i$$\bigwedge_i \phi_i$$\mathrm{L}^k_{\infty\omega}$là bộ sưu tập của tất cả các công thức trong có liên quan đến nhiều nhất là k biến (định lượng hay không), và L w ∞ w = ⋃ k L k ∞ w .$\mathrm{L}_{\infty\omega}$$k$$\mathrm{L}^\omega_{\infty\omega} = \bigcup_k \mathrm{L}^k_{\infty\omega}$

Được biết, FO (PFP) (xem Định lý 7.4.2 trong Ebbinghaus và Flum cuốn sách "hữu hạn Mẫu Theory"). Vì vậy, nếu bạn chứng minh cái gì đó là không thể biểu diễn trong L k ∞ w cho bất kỳ k , sau đó bạn cũng chứng minh rằng nó không thể diễn tả được trong FO (PFP).$\subseteq \mathrm{L}^\omega_{\infty\omega}$$\mathrm{L}^k_{\infty\omega}$$k$

Bây giờ, làm thế nào để chứng minh kết quả inexpressibility cho ? Bằng cách chơi các trò chơi k -pebble. Đây là những trò chơi loại Ehrenfeucht-Fraissé trong đó số lượng vòng không bị ràng buộc nhưng mỗi người chơi có nhiều nhất k viên sỏi mà anh ta có thể sử dụng lại (xem lại sách của Ebbinghaus và Flum).$\mathrm{L}^k_{\infty\omega}$$k$$k$

Sau khi tất cả các nền tảng này, bây giờ chúng ta có thể thấy rằng CNF-SAT không thể biểu diễn trong cho bất kỳ k . Đối với mỗi cố định k , chúng ta cần phải tìm một satisfiable CNF công thức F k và một công thức CNF không thể thoả mãn G k đến nỗi F k ≡ k ∞ w G k , nơi Một ≡ k ∞ w B có nghĩa rằng Duplicator có một chiến lược chiến thắng cho chiến thắng các k trò chơi -pebble trên các cấu trúc Một và $\mathrm{L}^k_{\infty\omega}$$k$$k$$F_k$$G_k$$F_k \equiv^k_{\infty\omega} G_k$$A \equiv^k_{\infty\omega} B$$k$$A$$B$(ở đây chúng ta cần sửa một số cách hợp lý để mã hóa các công thức CNF thành các cấu trúc hữu hạn: giả sử chúng ta mã hóa chúng dưới dạng biểu đồ tỷ lệ lưỡng cực của chúng với các phần tử biểu thị các mệnh đề ở một bên, các phần tử biểu thị các biến ở bên kia và 2 loại quan hệ nhị phân chỉ ra các biến xuất hiện trong mệnh đề nào và dưới dấu nào). Tôi khẳng định rằng một sự lựa chọn rõ ràng về và G k là có thể. Nhưng thay vào đó tôi sẽ cung cấp cho bạn một bằng chứng gián tiếp.$F_k$$G_k$

$K_k \equiv^k_{\infty\omega} K_{k+1}$$K_a$$a$$\mathrm{L}^\omega_{\infty\omega}$$\mathrm{L}^\omega_{\infty\omega}$