Sự phức tạp của phép đồng hình hóa sơ đồ với một chu kỳ định hướng

Cho một đồ thị có hướng cố định (sơ đồ) , bài toán quyết định D -COLORING hỏi xem một sơ đồ đầu vào G có đồng cấu với D không . (Phép đồng hình của G đến D là ánh xạ f của V ( G ) đến V ( D ) bảo toàn các cung, nghĩa là, nếu u v là một cung của G , thì f ( u ) f ( v ) là một cung của D. )$D$$D$$G$$D$$G$$D$$f$$V(G)$$V(D)$$uv$$G$$f(u)f(v)$$D$

Lớp các vấn đề -COLORING được kết nối mạnh mẽ với Giả thuyết lưỡng phân cho các CSP được Feder và Vardi nêu (có thể truy cập trên citeseer ).$D$

Trong bài viết năm 2001 này (có thể truy cập trên trang của tác giả, ở đây ), Feder chứng minh một định lý phân đôi khi là một chu kỳ định hướng ( theo chu kỳ định hướng tôi có nghĩa là một chu kỳ không xác định trong đó mỗi cạnh được thay thế bởi một cung duy nhất, có thể được định hướng tùy ý) , nói cách khác, ông cho thấy rằng đối với bất kỳ chu kỳ định hướng D nào , D -COLORING đều có thể giải được theo thời gian đa thức hoặc hoàn thành NP.$D$$D$$D$

Thật không may, phân loại của Feder rất không cần thiết và không rõ ràng, vì sự phức tạp của nhiều trường hợp có liên quan đến sự phức tạp của các biến thể SAT bị hạn chế nhất định phụ thuộc vào định hướng. Bằng cách nhìn vào bài báo, tôi không thể xác định câu trả lời cho câu hỏi của mình:

Câu hỏi: Kích thước nhỏ nhất của chu trình định hướng sao cho D -COLORING hoàn thành NP?$D$$D$

Câu trả lời có thể được nêu ở đâu đó trong tài liệu, nhưng tôi không thể tìm thấy nó.

Biên tập:Hãy để tôi cung cấp thêm chi tiết về phân loại của Feder. Feder cho thấy rằng bất kỳ chu kỳ định hướng hoàn chỉnh NP nào cũng phải được cân bằng, nghĩa là có cùng số lượng cung theo cả hai hướng (do đó nó có thứ tự thậm chí). Sau đó, hãy xem xét các "mức" gây ra bởi hướng (bắt đầu đi xung quanh chu kỳ tại một đỉnh tùy ý; nếu một cung đi sang phải, bạn đi lên 1, nếu một cung đi sang trái, bạn đi xuống 1). Sau đó, nếu có nhiều nhất một "chạy từ trên xuống", thì đó là đa thức. Nếu có ít nhất 3 lần "chạy" như vậy và chu trình là lõi, thì nó đã hoàn thành NP. (Trong ví dụ của András từ các bình luận, có ba lần "chạy" như vậy, nhưng chu trình không phải là cốt lõi.) Các trường hợp khó khăn nhất là những trường hợp có hai "lần chạy từ trên xuống". Một số khó khăn, một số đa thức và Feder liên quan chúng với các vấn đề SAT đặc biệt để có được sự phân đôi.

Như một câu hỏi trung gian: chu trình định hướng nhỏ nhất có ba lần chạy "từ trên xuống dưới" và là cốt lõi là gì? Một ví dụ như vậy sẽ được NP hoàn thành bởi các cuộc thảo luận ở trên.

Đối với câu hỏi trung gian (một lõi có ba lần chạy từ trên xuống), làm thế nào về điều này?

$\{l,r\}^*$$llrl$$\cdot\leftarrow\cdot\leftarrow\cdot\to\cdot\leftarrow\cdot$$r$$l$$0$

• $l$$r$$D$$D$$3$
• $3$$llr(lr)^ill$$rrl(rl)^irr)$$D$$i$

$4$$36$$D$$(rrrlrrlllrll)^3$

$v_1,\ldots,v_{36}$$0$$v_1,v_{13},v_{25}$$\varphi$$D$$\varphi(v_1)\in\{v_1,v_{13},v_{25}\}$$v_i\mapsto v_{i+12}$$\varphi(v_1)=v_1$$v_1$$D$

$v_{34}(1)\to v_{35}(2)\leftarrow v_{36}(1)\leftarrow v_1(0)\to v_2(1)\to v_3(2)\to v_4(3)\leftarrow v_5(2)\to v_6(3)\to v_7(4)$

$\varphi(v_1)=v_1$$\varphi(v_2)\in\{v_{36},v_2\}$$\varphi(v_2)=v_{36}$$\varphi(v_3)=v_{35}$$\varphi(v_4)$$\varphi(v_2)=v_2,\varphi(v_3)=v_3,\varphi(v_4)=v_4$$\varphi(v_5)\in\{v_3,v_5\}$$\varphi(v_5)=v_3$$\varphi(v_6)=v_4$$\varphi(v_7)$$\varphi$$v_1\to\ldots\to v_7$$D$$\varphi$$D$