Có một hàm băm cho một tập hợp (nghĩa là nhiều tập hợp) các số nguyên có đảm bảo lý thuyết tốt không?

Tôi tò mò liệu có cách nào để lưu trữ hàm băm của nhiều bộ số nguyên có các thuộc tính sau không, lý tưởng nhất là:

1. Nó sử dụng không gian O (1)
2. Nó có thể được cập nhật để phản ánh việc chèn hoặc xóa trong thời gian O (1)
3. Hai bộ sưu tập giống hệt nhau (nghĩa là các bộ sưu tập có cùng các phần tử có cùng bội số) phải luôn luôn băm với cùng một giá trị và hai bộ sưu tập riêng biệt nên băm thành các giá trị khác nhau với xác suất cao (nghĩa là hàm độc lập hoặc độc lập theo cặp)

Một nỗ lực ban đầu ở đây sẽ là lưu trữ modulo sản phẩm một số nguyên tố ngẫu nhiên trong số băm của các phần tử riêng lẻ. Điều này thỏa mãn 1 và 2 nhưng không rõ liệu nó hay biến thể gần đúng sẽ thỏa mãn 3.

Ban đầu tôi đã đăng bài này lên StackOverflow .

* Thuộc tính 1 và 2 có thể được nới lỏng một chút, giả sử O (log n) hoặc đa thức tuyến tính nhỏ. Vấn đề là để xem liệu chúng ta có thể xác định nhiều bộ và kiểm tra sự bình đẳng một cách đáng tin cậy mà không cần lưu trữ các phần tử không.

Nếu bạn nghĩ rằng các bộ như sống trong vũ trụ , thì khá dễ dàng để giải quyết vấn đề của bạn với thời gian cập nhật . Tất cả những gì bạn cần là một hàm băm nhanh cho một vectơ số , với "cập nhật cục bộ" nhanh.O ( lg u ) $[u]$$O(\lg u)$$u$

Wikipedia / Universal băm gợi ý , trong đó là một số nguyên tố đủ lớn và được rút ra đồng đều từ . Khi bạn thêm hoặc xóa phần tử , bạn phải thêm / bớt khỏi mã băm, mất thời gian bằng cách sử dụng phép chia và chinh phục cho phép lũy thừa. Do đa thức bậc chỉ có thể có gốc , nên xác suất va chạm cho hai tập hợp riêng biệt là . Điều này có thể được thực hiện rất nhỏ bằng cách lấy đủ lớn (ví dụ: p a [ p ] i a i O ( lg i ) u u O ( u / p ) p p = u 2 [ u $h(\vec{x}) = \big(\sum_{i=1}^{u} x_i a^i \big) \bmod{p}$$p$$a$$[p]$$i$$a^i$$O(\lg i)$$u$$u$$O(u/p)$$p$$p=u^2$và bạn làm việc trong "độ chính xác kép"). Nếu các bộ nhỏ hơn nhiều so với , tất nhiên bạn có thể bắt đầu bằng cách băm vũ trụ xuống vũ trụ nhỏ hơn.$[u]$

Có ai biết một giải pháp với xác suất va chạm khi băm đến phạm vi không? Điều này nên có thể.[ p $O(1/p)$$[p]$

Carter và Wegman trình bày điều này trong các hàm băm mới và việc sử dụng chúng trong xác thực và thiết lập sự bình đẳng ; nó rất giống với những gì bạn mô tả. Về cơ bản, hàm băm giao hoán có thể được cập nhật một yếu tố tại một thời điểm để chèn và xóa và khớp xác suất cao, trong O (1).

Chất lượng của hàm băm sẽ luôn phụ thuộc vào các thuộc tính của các phần tử mà nó phải băm. Bạn có thể nói điều gì về điều này? Chẳng hạn, đề xuất sản phẩm của bạn có thể là hàm băm kém nếu các phần tử x_i của multiset của bạn thường có nhiều thừa số nguyên tố nhỏ. Nhưng bạn có thể cải thiện nó trong trường hợp này chỉ bằng cách lấy sản phẩm của tất cả x_i + p mod q cho một số số nguyên tố p và q.

A = 0x4F1BBCDD
B = 0x314EFB75
A*B = 1 
N = size of set before addition/removal<P>
Add X
H = (H-N)*B
U = H >> 16
V = H & 0xFFFF
H = (((U+X)&M)<<16) + ((V^X)&M)
H *= A
H += N+1

Remove X
H = (H-N)*B
U = H >> 16
V = H & 0xFFFF
H = (((U-X)&M)<<16) + ((V^X)&M)
H *= A
H += N-1

tổng cho phép chúng ta có nhiều lần xuất hiện của cùng một giá trị
, xor cho phép chúng ta có các tập hợp với cùng một số tiền