Làm thế nào khó khăn là xáo trộn một chuỗi?

Việc xáo trộn hai chuỗi được hình thành bằng cách xen kẽ các ký tự thành một chuỗi mới, giữ các ký tự của mỗi chuỗi theo thứ tự. Ví dụ, MISSISSIPPIlà một sự xáo trộn của MISIPPvà SSISI. Hãy để tôi gọi một chuỗi vuông nếu nó là một chuỗi hai chuỗi giống nhau. Ví dụ, ABCABDCDlà hình vuông, bởi vì nó là sự xáo trộn của ABCDvà ABCD, nhưng chuỗi ABCDDCBAkhông phải là hình vuông.

Có một thuật toán nhanh để xác định xem một chuỗi là hình vuông hay là NP-hard? Phương pháp lập trình động rõ ràng dường như không hoạt động.

Ngay cả các trường hợp đặc biệt sau đây cũng có vẻ khó: (1) chuỗi trong đó mỗi ký tự xuất hiện tối đa bốn sáu lần và (2) chuỗi chỉ có hai ký tự riêng biệt. Như Per Austrin chỉ ra dưới đây, trường hợp đặc biệt trong đó mỗi nhân vật xuất hiện tối đa bốn lần có thể giảm xuống còn 2SAT.

---

Cập nhật: Vấn đề này có một công thức khác có thể làm cho một bằng chứng độ cứng dễ dàng hơn.

Xét đồ thị G có các đỉnh là các số nguyên từ 1 đến n; xác định mỗi cạnh với khoảng thực giữa các điểm cuối của nó. Chúng ta nói rằng hai cạnh của G được lồng nhau nếu một khoảng đúng chứa khoảng kia. Ví dụ, các cạnh (1,5) và (2,3) được lồng nhau, nhưng (1,3) và (5,6) thì không, và (1,5) và (2,8) thì không. Khớp trong G không được lồng nếu không có cặp cạnh nào được lồng. Có một thuật toán nhanh để xác định xem G có khớp hoàn hảo không lồng nhau không, hay đó là vấn đề NP-hard?

• Xáo trộn một chuỗi tương đương với việc tìm kiếm một kết hợp hoàn hảo không lồng nhau trong một liên kết rời rạc (có các cạnh giữa các ký tự bằng nhau). Cụ thể, việc xáo trộn một chuỗi nhị phân tương đương với việc tìm kiếm một kết hợp hoàn hảo không lồng nhau trong một liên kết rời rạc của hai cụm. Nhưng tôi thậm chí không biết vấn đề này là khó đối với các biểu đồ chung hay dễ đối với bất kỳ lớp biểu đồ thú vị nào.

• Có một thuật toán đa thức thời gian dễ dàng để tìm ra các kết hợp không giao nhau hoàn hảo .

---

Cập nhật (ngày 24 tháng 6 năm 2013): Vấn đề đã được giải quyết! Hiện tại có hai bằng chứng độc lập xác định chuỗi vuông là NP-Complete.

• Vào tháng 11 năm 2012, Sam Buss và Michael Soltys đã tuyên bố giảm từ 3 phân vùng , điều này cho thấy vấn đề khó khăn ngay cả đối với các chuỗi trên bảng chữ cái 9 ký tự. Xem "Xáo trộn một hình vuông là NP-Hard ", Tạp chí Khoa học hệ thống máy tính 2014.

• Vào tháng 6 năm 2013, Romeo Rizzi và Stéphane Vialette đã công bố một sự giảm bớt từ vấn đề tiếp theo phổ biến dài nhất . Xem " Nhận biết các từ là hình vuông cho sản phẩm xáo trộn ", Proc. Hội thảo khoa học máy tính quốc tế lần thứ 8 ở Nga , Springer LNCS 7913, trang 235 trừ245.

Ngoài ra còn có một bằng chứng đơn giản hơn cho thấy việc tìm kiếm các kết hợp hoàn hảo không lồng nhau là NP-hard, do Shuai Cheng Li và Ming Li vào năm 2009. Xem " Về hai vấn đề mở của các mẫu 2 khoảng ", Khoa học máy tính lý thuyết 410 (24 Thay25 ): 2410 Vang2423, 2009.

Michael Soltys và tôi đã thành công trong việc chứng minh rằng vấn đề xác định xem một chuỗi có thể được viết dưới dạng xáo trộn vuông hay không là NP hoàn chỉnh. Điều này áp dụng ngay cả trên một bảng chữ cái hữu hạn chỉ có ký hiệu riêng biệt, mặc dù bằng chứng của chúng tôi được viết cho một bảng chữ cái có ký hiệu. Câu hỏi này vẫn mở cho các bảng chữ cái nhỏ hơn, chỉ có ký hiệu. Chúng tôi đã không xem xét vấn đề theo giới hạn rằng mỗi biểu tượng chỉ xuất hiện lần (hay nói chung hơn là số lần không đổi); Vì vậy, câu hỏi vẫn còn mở.9 2 $7$$9$$2$$6$

Bằng chứng sử dụng giảm từ -Partition. Quá dài để đăng ở đây, nhưng một bản in lại, "Giải mã chuỗi là -hard", có sẵn từ các trang web của chúng tôi tại:$3$$\text{NP}$

http://www.math.ucsd.edu/~sbuss/ResearchWeb/Shuffle/

và

http://www.cas.mcmaster.ca/~soltys/#Papers .

Bài viết đã được công bố trên Tạp chí Khoa học Hệ thống Máy tính:

http://www.scTHERirect.com/science/article/pii/S002200001300189X

Đối với trường hợp đặc biệt mà bạn đề cập khi mỗi nhân vật xuất hiện nhiều nhất bốn lần, có một mức giảm đơn giản thành 2-SAT (trừ khi tôi thiếu thứ gì đó ...), như sau:

Điểm cốt yếu là đối với mỗi nhân vật, có (nhiều nhất) hai cách hợp lệ phù hợp với sự xuất hiện của nhân vật (khả năng thứ ba sẽ được lồng vào nhau). Sử dụng một biến boolean để biểu thị cái nào trong hai khớp được chọn. Bây giờ, một phép gán cho các biến này cung cấp một chuỗi xáo trộn hợp lệ của chuỗi iff cho mỗi cặp cạnh được lồng, không phải cả hai đều được chọn. Điều kiện này có thể được mô tả chính xác bằng cách phân biệt các biến (có thể bị phủ định) tương ứng với hai ký tự liên quan.

Đây là một thuật toán có thể có một số cơ hội chính xác mặc dù có vẻ khó để chứng minh và tôi sẽ không đặt cược ngôi nhà vào nó ...

Hãy để chúng tôi nói rằng được thanh lọc nếu với mọi cạnh e , tồn tại một kết hợp hoàn hảo (có thể lồng nhau) của G sử dụng e và không sử dụng bất kỳ cạnh nào có trong hoặc chứa e .$G$$e$$G$$e$$e$

Thật dễ dàng để kiểm tra nếu bị thanh trừng và nếu không tìm thấy các cạnh vi phạm. Rõ ràng không có cạnh nào trong số các cạnh vi phạm này có thể được sử dụng trong kết hợp hoàn hảo không lồng nhau của G , vì vậy có thể loại bỏ chúng khỏi sự cân nhắc. Lặp lại quá trình này, chúng ta thu được một sơ đồ con được thanh lọc (duy nhất) của G có một kết hợp hoàn hảo không lồng nhau mà iff G có.$G$$G$$G$$G$

Bây giờ đến bước nhảy vọt của đức tin, mà có thể hoặc không có thể đúng: hy vọng là trong một đồ thị thanh lọc, nếu vẫn còn đỉnh của mức độ , chúng ta có thể thực hiện lựa chọn tham lam và phù hợp với ví dụ đầu tiên đỉnh để người hàng xóm đầu tiên (hoặc tương đương, loại bỏ các cạnh cho tất cả các hàng xóm khác của nó).$> 1$

Sau khi lựa chọn tham lam, chúng tôi sẽ lọc lại biểu đồ, v.v. và quá trình kết thúc khi biểu đồ (hy vọng) là một kết hợp hoàn hảo không lồng nhau.

Lúc đầu, tôi nghĩ rằng điều này gần giống như có một cái nhìn nhỏ về phía trước trong thuật toán tham lam và không thực sự hiệu quả, nhưng tôi thấy thật khó để đưa ra một ví dụ điển hình.

Giải pháp mà Sam Buss và tôi đã đề xuất vào tháng 11 năm 2012 (cho thấy việc xáo trộn một hình vuông trong NP-hard bằng cách giảm từ 3-Phân vùng) hiện là một bài báo được xuất bản trên Tạp chí Khoa học Hệ thống Máy tính:

http://www.scTHERirect.com/science/article/pii/S002200001300189X

Romeo Rizzi và Stéphane Vialette chứng minh rằng việc nhận ra các chuỗi vuông là NP hoàn chỉnh trong bài báo năm 2013 của họ " Về việc nhận ra các từ đó là bình phương cho sản phẩm xáo trộn ", bằng cách giảm từ vấn đề nhị phân dài nhất. Họ nói rằng sự phức tạp của việc xáo trộn một chuỗi nhị phân vẫn còn mở.

Một bằng chứng đơn giản hơn nữa cho thấy việc tìm kiếm kết hợp hoàn hảo không lồng nhau là NP-hoàn chỉnh được đưa ra bởi Shuai Cheng Li và Ming Li trong bài báo năm 2009 của họ " Về hai vấn đề mở của các mẫu 2 khoảng ". Tuy nhiên, họ sử dụng thuật ngữ được thừa hưởng từ tin sinh học. Thay vì "kết hợp không lồng nhau hoàn hảo", họ gọi đó là "vấn đề DIS-2-IP- ". Sự tương đương giữa hai vấn đề được mô tả bởi Blin, Fertin và Vialette :$\{<, \between\}$

Vấn đề 2-IP-DIS- có công thức ngay lập tức về các đối sánh bị ràng buộc trong các biểu đồ chung: Cho một đồ thị cùng với thứ tự tuyến tính của các đỉnh của , 2-IP -DIS- vấn đề tương đương với việc tìm một số lượng thẻ tối đa khớp với trong với thuộc tính cho bất kỳ hai cạnh khác biệt và của cũng không và cũng không$\{<, \between\}$$G$$\pi$$G$$\{<, \between\}$$M$$G$$\{u, v\}$$\{u', v'\}$$M$$min \{ \pi(u), \pi(v) \} \lt min \{ \pi(u'), \pi(v') \}$$max \{ \pi(u'), \pi(v') \lt max \{ \pi(u), \pi(v) \}$$min \{ \pi(u'), \pi(v') \} \lt min \{ \pi(u), \pi(v) \}$ và xảy ra.$max \{ \pi(u), \pi(v) \} \lt max \{ \pi(u'), \pi(v') \}$

Cập nhật (ngày 25 tháng 2 năm 2019): Bulteau và Vialette đã chỉ ra rằng vấn đề quyết định xáo trộn chuỗi nhị phân là NP-đầy đủ trong bài báo của họ, Nhận ra hình vuông xáo trộn nhị phân là NP-hard .

Không giúp đỡ à?

http://users.soe.ucsc.edu/~manfred/pub/J1.pdf

KHÔNG BAO GIỜ TỐI THIỂU, TRẢ LỜI NÀY SAU. Nó không thành công khi nhập "AABAAB": tham lam khớp hai chữ A đầu tiên với nhau khiến cho không thể khớp các ký hiệu còn lại. Tôi bỏ nó đi thay vì xóa nó để giúp người khác tránh mắc lỗi tương tự.

Đối với tôi, dường như luôn an toàn để khớp từng nhân vật kế tiếp của hình vuông được cho là tham lam với một nhân vật bình đẳng khác ở vị trí càng sớm càng tốt. Đó là, tôi nghĩ rằng thuật toán thời gian tuyến tính sau đây sẽ hoạt động:

Lặp lại qua từng vị trí i trong chuỗi đầu vào, i = 0, 1, 2, ... n. Đối với mỗi vị trí i, kiểm tra xem vị trí đó đã được khớp với một số vị trí trước đó trong chuỗi chưa. Nếu không, khớp nó với một ký tự bằng nhau xuất hiện sau vị trí đã khớp cuối cùng và càng sớm càng tốt trong chuỗi. Nếu không tìm thấy kết quả khớp cho một số ký tự, hãy khai báo rằng đầu vào không phải là hình vuông; mặt khác, nó là tập hợp các ký tự trong cặp đầu tiên của mỗi trận đấu.

Đây là Python.

def sqrt (S):
    trận đấu = []
    i, j = 0, 0
    trong khi tôi <len (S):
        if j <len (khớp) và khớp [j] [1] == i:
            tôi + = 1
            j + = 1
            tiếp tục
        nếu phù hợp:
            k = khớp [-1] [1] + 1
        khác:
            k = 1
        trong khi k <len (S) và S [k]! = S [i]:
            k + = 1
        nếu k> = len (S):
            nâng cao ngoại lệ ("Không phải hình vuông")
        trận đấu.append ((i, k))
        tôi + = 1
    trả về "" .join (S [a] cho a, b trong các trận đấu)

in sqrt ("ABCABDCD")

Ở đây i là biến vòng lặp chính (vị trí chúng ta đang cố khớp), j là một con trỏ vào mảng các cặp được khớp để tăng tốc độ kiểm tra xem vị trí i đã khớp chưa và k là chỉ mục được sử dụng để tìm kiếm nhân vật phù hợp với một ở vị trí i. Đó là thời gian tuyến tính bởi vì i, j và k đang tăng đơn điệu thông qua chuỗi và mỗi lần lặp vòng lặp bên trong làm tăng một trong số chúng.

Cập nhật: Không có ý nghĩa gì khi nói về khó khăn trong việc tìm kiếm kết hợp hoàn hảo không lồng nhau và không giao nhau, khi các nhãn từ 1 đến n, vì chỉ có một như vậy. (Vâng, tôi đang tự đá mình.) Tuy nhiên, nó sẽ có ý nghĩa khi đưa ra một phạm vi lớn hơn trên nhãn ... vì vậy tôi vẫn thấy một số hy vọng, nhưng rốt cuộc nó có thể khá vô nghĩa. Tôi chắc chắn sẽ phải theo dõi điều này thêm một số.

---

Tôi có thể nghĩ về lý do tại sao có thể khó tìm thấy một kết hợp không lồng nhau và không giao nhau. Hãy để tôi gọi một kết hợp như vậy là khớp nhau . Không chắc chắn mức độ này sẽ giúp gì, nhưng hãy để tôi trình bày lý do nào. (Tôi nên chỉ ra rằng lập luận của tôi, vì nó đứng ở đây, không đầy đủ, và chi tiết tôi bỏ qua có thể rất quan trọng. Tuy nhiên, tôi tưởng tượng rằng nó có thể là một cái gì đó bắt đầu.)

Tôi sẽ bắt đầu với một vấn đề hơi khác. Cho một đồ thị có các cạnh được tô màu bằng màu và các đỉnh được dán nhãn từ đến , có khớp nào khác nhau chứa chính xác một cạnh của mỗi màu không? Vấn đề này có vẻ là NP-hard (đối số cho điều này là đầy đủ và đơn giản - trừ khi tôi thiếu một cái gì đó). Việc giảm phát ra một biểu đồ là một sự kết hợp rời rạc của các nhóm.k 1 $G$$k$$1$$n$

Việc giảm là từ các yếu tố rời rạc , một vấn đề hoàn chỉnh NP được giới thiệu trong [1]. Một ví dụ về các yếu tố rời rạc được đưa ra bởi một chuỗi trên một bảng chữ cái có kích thước , và câu hỏi là liệu có các yếu tố rời rạc không, trong đó một yếu tố là một chuỗi con bắt đầu và kết thúc bằng cùng một chữ cái; và hai yếu tố không khớp nhau nếu chúng không chồng chéo trong chuỗi (đặc biệt lưu ý rằng 'lồng nhau', đặc biệt, cũng không được phép).$k$$k$

Hãy để tôi biểu thị bằng , các yếu tố của bảng chữ cái kích thước liên quan đến thể hiện các yếu tố phân biệt.$a_1,\ldots, a_k$$k$

Cho một ví dụ về các yếu tố rời rạc, nghĩa là một chuỗi có độ dài , tạo một biểu đồ có đỉnh với các nhãn đỉnh từ đến . Thêm một cạnh giữa các đỉnh và nếu các vị trí tương ứng có cùng chữ cái (giả sử ), và cũng tô màu cạnh bằng màu .n 1 n u v a i ( u , v ) $n$$n$$1$$n$$u$$v$$a_i$$(u,v)$$i$

Bằng chứng về việc giảm về cơ bản sau các định nghĩa. Với các yếu tố phân biệt , chúng ta rõ ràng có một kết hợp đầy màu sắc -disjoint, chỉ chọn các cạnh như được đưa ra bởi các yếu tố rời rạc, và dễ dàng nhận thấy rằng kết quả khớp vừa có màu sắc vừa rời rạc. Ngược lại, nếu có một kết hợp đầy màu sắc -disjoint, thì chúng ta có các yếu tố phân biệt k, một yếu tố cho mỗi chữ cái, bởi vì kết hợp có nhiều màu sắc (và do đó chọn một yếu tố cho mỗi chữ cái) và không khớp nhau (vì vậy các yếu tố tương ứng sẽ không trùng lặp ).k $k$$k$$k$

Để loại bỏ màu sắc và làm cho kết hợp hoàn hảo, mặc dù trên phạm vi có thể lớn hơn , hãy thực hiện các sửa đổi sau cho biểu đồ do đó được tạo:

Đặt biểu thị tập hợp con của các đỉnh có nhãn là các vị trí được liên kết với chữ . Nếu có các đỉnh , sau đó thêm các đỉnh mới và tạo ra một đồ thị lưỡng cực hoàn chỉnh giữa và các đỉnh mới được thêm vào. Lặp lại, tất nhiên, cho mỗi chữ cái. a U a A ( A - 2 ) U $U_a$$a$$U_a$$A$$(A-2)$$U_a$

Nói một cách đơn giản, nếu đồ thị tạo ra một kết hợp hoàn hảo, các đỉnh mới được giới thiệu phải được khớp với các đỉnh của và chúng sẽ bão hòa tất cả trừ một cặp đỉnh và cạnh giữa các đỉnh còn lại sẽ tương ứng với hệ số rời rạc . Tôi đã không tìm ra những con số mà người ta phải liên kết với các đỉnh mới được thêm vào ... lưu ý rằng chúng phải sao cho khớp kết quả là rời rạc. Tôi chỉ có một cảm giác (đọc: hy vọng) rằng nó 'có thể được thực hiện'!$U_a$

[1] Về các vấn đề không có hạt nhân đa thức , Hans L. Bodlaender, Rodney G. Downey, Michael R. Fellows và Danny Hermelin, J. Comput. Hệ thống. Khoa học.

Cách tiếp cận không hiệu quả: phân tách một hình vuông bị xáo trộn bằng cách lấy ra hai chữ cái trùng khớp không dẫn đến hình vuông bị xáo trộn ... Xem bình luận của Radu bên dưới.

---

Một đề xuất sử dụng Phạm vi Concatenation ngữ pháp (RCGs, xem http://hal.inria.fr/inria-00073347/en/ ): Tôi 'm đã theo ấn tượng rằng RCG đơn giản sau đây nhận của bạn 'xáo trộn hình vuông' ngôn ngữ trên một hữu hạn bảng chữ cái , EDITED sau nhận xét đầu tiên của Radu: trong đó phạm vi trên và biểu thị khoảng trống chuỗi.S ( X Y $\Sigma$

$${\small \begin{aligned} S(XY)&\Rightarrow A(X,Y)&(1)\newline A(aX_1, aX_2Y_1Y_2)&\Rightarrow A(X_1,Y_1)\,A(X_2,Y_2)&(2)\newline A(\varepsilon,\varepsilon)&\Rightarrow\varepsilon&(3) \end{aligned}}$$ $a$$\Sigma$$\varepsilon$

Ngữ pháp kiểm tra với vị từ thứ hai rằng nó khớp với một chữ cái từ lần xuất hiện từ đầu tiên với cùng một chữ cái trong lần xuất hiện từ thứ hai. Sau đó, nó đoán làm thế nào để khớp với phần còn lại của các chữ cái đầu tiên còn lại, tức là với một chuỗi con của phần còn lại, cụ thể là . Do đó, mọi thứ trước thuộc về từ đầu tiên; chúng tôi gọi nó là và chúng tôi đoán rằng nó phù hợp với một số hậu tố bắt đầu từ . Lưu ý rằng và có thể chứa các chữ cái từ cả hai phiên bản của từ, nhưng và chỉ chứa các chữ cái từ phiên bản đầu tiên.$X_1$$Y_1$$Y_1$$X_2$$Y_2$$Y_1$$Y_2$$X_1$$X_2$

Ví dụ, đây là một dẫn xuất có thể có của chuỗi của bạn : $abcabdcd$

$${\small\begin{aligned} S(abcabdcd) &\Rightarrow A(abc, abdcd) &(\text{by } 1, X=abc, Y=abdcd)\newline &\Rightarrow A(bc,bdcd)\,A(\varepsilon,\varepsilon)&(\text{by } 2, X_1=bc, Y_1=bdcd, X_2=Y_2=\varepsilon)\newline &\Rightarrow A(c,c)\,A(d,d)\,A(\varepsilon,\varepsilon)&(\text{by } 2)\newline &\Rightarrow A(\varepsilon,\varepsilon)\,A(\varepsilon,\varepsilon)\,A(d,d)\,A(\varepsilon,\varepsilon)&(\text{by } 2)\newline &\Rightarrow A(\varepsilon,\varepsilon)\,A(d,d)\,A(\varepsilon,\varepsilon)&(\text{by } 3)\newline &\Rightarrow A(d,d)\,A(\varepsilon,\varepsilon)&(\text{by } 3)\newline &\Rightarrow A(\varepsilon,\varepsilon)\,A(\varepsilon,\varepsilon)\,A(\varepsilon,\varepsilon)&(\text{by } 2)\newline &\Rightarrow^3\varepsilon&\text{i.e. success} \end{aligned}}$$

Đối với , $0011$

$${\small\begin{aligned} S(0011)&\Rightarrow A(0,011)\newline &\Rightarrow A(\varepsilon,\varepsilon)\,A(1,1)\newline &\Rightarrow A(1,1)\newline &\Rightarrow^\ast \varepsilon \end{aligned}}$$

Bây giờ, Boullier cho thấy trong bài báo được liên kết trước đó rằng có một thuật toán thời gian đa thức lập trình động cho RCG, trả lời câu hỏi của bạn nếu ngữ pháp trên là chính xác. Ý tưởng là, mặc dù tôi đã trình bày bên trên các biến thể của các biến , , v.v. dưới dạng các chuỗi, chúng thực sự là các khoảng bên trong chuỗi đầu vào, có thể được lập bảng đúng.$X$$Y$

Cập nhật: Như Tsuyoshi Ito đã chỉ ra trong các bình luận, thuật toán này có thời gian chạy theo cấp số nhân.

Bài gốc:

Đây là cách tôi sẽ lập trình điều này trong Thế giới thực.

Chúng tôi được cung cấp một chuỗi S = (S [1], ..., S [n]). Đối với mỗi tiền tố S_r = (S [1], ..., S [r]), có một tập hợp {(T_i, U_i)} của các cặp chuỗi, sao cho S_r là một sự xáo trộn của (T_i, U_i), và T_i là tiền tố của U_i (tức là U_i 'bắt đầu bằng' T_i). Bản thân S_r là một hình vuông khi và chỉ khi tập hợp này chứa một cặp (T_i, U_i) với T_i = U_i.

Bây giờ, chúng ta không cần phải tạo tất cả các cặp này; chúng ta chỉ cần tạo hậu tố V_i của mỗi chuỗi U_i thu được bằng cách xóa bản sao T_i của nó. Điều này sẽ loại bỏ một số lượng trùng lặp không liên quan (có thể theo cấp số nhân). Bây giờ S_r là một hình vuông khi và chỉ khi tập hợp hậu tố này chứa chuỗi rỗng. Vì vậy, thuật toán trở thành:

Initialise: SuffixSet = {<empty string>} ; r = 0
Loop: while (r < n) {
  r = r + 1
  NextSuffixSet = {}
  for each V in SuffixSet {
    if (V[1] == S[r]) Add V[2...] to NextSuffixSet // Remove first character of V
    Add V||S[r] to NextSuffixSet // Append character S[r] to V
    }
  SuffixSet = NextSuffixSet
  }
Now S is a square if and only if SuffixSet contains the empty string.

Chẳng hạn, nếu S là AABAAB:

r=0: SuffixSet = {<empty string>}
r=1: S[r] = A; SuffixSet = {A}
r=2: S[r] = A; SuffixSet = {<empty string>, AA}
r=3: S[r] = B; SuffixSet = {B, AAB}
r=4: S[r] = A; SuffixSet = {BA, AB, AABA}
r=5: S[r] = A; SuffixSet = {BAA, B, ABA, AABAA}
r=6: S[r] = B; SuffixSet = {AA, BAAB, <empty string>, BB, ABAB, AABAAB}

Chúng ta có thể loại bỏ tất cả các hậu tố dài hơn một nửa chuỗi đầu vào, vì vậy điều này đơn giản hóa thành:

r=0: SuffixSet = {<empty string>}
r=1: S[r] = A; SuffixSet = {A}
r=2: S[r] = A; SuffixSet = {<empty string>, AA}
r=3: S[r] = B; SuffixSet = {B, AAB}
r=4: S[r] = A; SuffixSet = {BA, AB}
r=5: S[r] = A; SuffixSet = {BAA, B, ABA}
r=6: S[r] = B; SuffixSet = {AA, <empty string>, BB}

Tôi đã lập trình điều này trong C ++ và nó hoạt động trên tất cả các ví dụ được đưa ra ở đây. Tôi có thể gửi mã, nếu có ai quan tâm. Câu hỏi là: kích thước của Suffixset có thể tăng nhanh hơn đa thức không?

EDIT: Đây là một câu trả lời không chính xác.

---

Sylvain đề xuất một RCG không may không phù hợp với những "ô vuông xáo trộn" này. Tuy nhiên, tôi nghĩ có một (EDIT: không phải RCG, xem bình luận của Kurt bên dưới!) , Trông như sau:

$\begin{aligned} S(Y) & \rightarrow A(\epsilon,Y) & (1) \newline A(X, ZY) & \rightarrow A(XZ,Y) & (2) \newline A(aX, aY) & \rightarrow A(X,Y) \quad \text{ for every } a \in \Sigma & (3) \newline A(\epsilon,\epsilon) & \rightarrow \epsilon & (4) \end{aligned}$

$a$$a'$$b$$b'$$a \prec b$$a' \prec b'$$\prec$$(1,2)$$(3)$$(2)$

$100110101010$

$\begin{aligned} S(100110101010) & \Rightarrow A(\epsilon,100110101010) & (1) \newline & \Rightarrow A(1001,10101010) & (2) \newline & \Rightarrow^* A(01,101010) & (3) \newline & \Rightarrow A(011,01010) & (2) \newline & \Rightarrow^* A(1,010) & (3) \newline & \Rightarrow A(10,10) & (2) \newline & \Rightarrow^* A(\epsilon, \epsilon) & (3) \newline & \Rightarrow \epsilon & (4) \end{aligned}$

Tôi đã không đưa ra một bằng chứng chính thức nào cho thấy ngữ pháp này thực sự nắm bắt chính xác các "ô vuông xáo trộn" nhưng nó không quá khó. Sylvain đã đề cập rằng vấn đề quyết định cho RCG là đa thức.