Giới hạn dưới cho Frege và Frege mở rộng

Wikipedia [1] nói rằng giới hạn dưới được biết đến nhiều nhất về kích thước của bằng chứng Frege là bậc hai, và không có giới hạn siêu tuyến nào được biết đến cho số lượng bằng chứng Frege.

Câu hỏi:

1) Giới hạn dưới được biết đến nhiều nhất đối với số lượng bằng chứng Frege mở rộng là gì?

2) Giới hạn dưới được biết đến nhiều nhất đối với kích thước của bằng chứng Frege mở rộng là gì? Nó vẫn còn bậc hai như trong Frege?

3) Frege mở rộng giống như cây có thể mô phỏng Frege mở rộng giống như DAG trong một số bước đa thức. Có bất kỳ giới hạn siêu tuyến nào cho kích thước / số dòng trên Frege giống như cây không?

4) Các tautology dẫn đến giới hạn dưới tuyến tính cho số lượng dòng và giới hạn dưới bậc hai cho kích thước trong các bằng chứng Frege như đã nêu tại wikipedia là gì?

Quan sát: Tôi biết rằng thực tế là đối với Frege có độ sâu không đổi, chúng ta có giới hạn kích thước thấp hơn theo thứ tự . Nhưng tôi thực sự quan tâm đến Frege toàn năng và Frege mở rộng.$2^{\Omega(n^{6^{-d}})}$

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Frege_system

1, 2, 4) Các giới hạn dưới được biết đến nhiều nhất trên Frege mở rộng cũng giống như đối với Frege: số dòng tuyến tính và kích thước bậc hai. Điều này áp dụng ví dụ cho các tautology (về cơ bản, bất kỳ tautology nào không phải là một thể hiện thay thế của một tautology ngắn hơn và có tổng độ dài của tất cả các dạng con là bậc hai). Điều này đã được chứng minh trong số học Bounded, logic mệnh đề và lý thuyết phức tạp của Krajíček cho các hệ thống Frege, nhưng đối số cũng hoạt động cho các hệ thống Frege mở rộng.$\neg^{2n}\top$

3) Tôi không hoàn toàn rõ ràng về cách bạn xác định chính xác Frege mở rộng giống như cây (phải có một cơ chế cho phép tái sử dụng các tiên đề mở rộng), nhưng tôi không biết về bất kỳ giới hạn siêu tuyến nào về số lượng đường thẳng trong Frege hoặc hệ thống Frege mở rộng.