Là các mạch số học yếu hơn boolean?

Hãy biểu thị kích thước tối thiểu của một (không-monotone) số học ( + , × , - ) mạch tính toán một cho đa tuyến đa thức f ( x 1 , ... , x n ) = Σ e ∈ E$A(f)$$(+,\times,-)$ Và B ( f ) biểu thị kích thước tối thiểu của một (không-monotone) boolean ( ∨ , ∧ , ¬ ) mạch tính toánphiên bản boolean f b của f xác định bởi: f b ( x 1 , ... , x n ) = ⋁ e ∈ E ⋀ i : e i ≠ 0 x

$$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$$ $B(f)$$(\lor,\land,\neg)$ $f_b$$f$ $$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$$

Các đa thức biết B ( f ) nhỏ hơn A ( f ) không? $f$$B(f)$$A(f)$

Nếu chúng ta xem xét các phiên bản đơn điệu của mạch - không có cổng Minus và không Không ( ¬ ) - thì B ( f ) thậm chí có thể nhỏ hơn theo cấp số nhân so với A ( f ) : ví dụ: đa thức đường đi ngắn nhất f trên K n ; sau đó B ( f ) = O ( n 3 ) và A ( f ) = 2 Ω ( $(-)$$(\neg)$$B(f)$$A(f)$$f$$K_n$$B(f)=O(n^3)$$A(f)=2^{\Omega(n)}$$A(f)$

---

LƯU Ý (15.03.2016) Trong câu hỏi của tôi, tôi không chỉ định các hệ số được phép như thế nào . Igor Sergeev nhớ tôi rằng, ví dụ, sau đây (đơn biến) đa thức f ( z ) = Σ m j = 1 2 2 j m z j có Một ( f ) = Ω ( m 1 / 2 ) (Strassen và nhân dân của mình nhóm). Nhưng B ( f ) = 0 cho đa thức này, vì f b$c_e$$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$$A(f)=\Omega(m^{1/2})$$B(f)=0$ . Chúng ta có thể có được fron f mộtđa biếnđa thức f ' ( x 1 , ... , x n ) của n = log m biến sử dụng sử dụng thay Kronecker. Liên kết với mọi số mũ j một đơn thức X j = ∏ i : a i = 1 x i , trong đó ( a 1 , Lỗi , a n$f_b(z)=z$$f$$f'(x_1,\ldots,x_n)$$n=\log m$$j$$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$$(a_1,\ldots,a_n)$ là các hệ số 0-1 của biểu diễn nhị phân của $j$. Sau đó, mong muốn đa thức là , và chúng tôi có mà A ( f ' ) + n ≥ Một ( f ) = Ω ( m 1 / 2 ) = 2 Ω ( n ) . Nhưng phiên bản boolean của f ' chỉ là một HOẶC biến, do đó$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$ $$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$$ $f'$ và chúng ta có một khoảng cách theo cấp số nhân. Do đó, nếu cường độ của các hệ số có thể là ba số mũ trong số n của các biến thì khoảng cách A ( f ) / B ( f ) có thểđược hiển thị theo cấp số nhân. (Trên thực tế, không phải là độ lớn - hơn nữa là sự phụ thuộc đại số của các hệ số.) Đây là lý do tại sao vấn đề thực sự với A ( f ) là trường hợp củacáchệ sốnhỏ(lý tưởng, chỉ 0-1). Nhưng trong trường hợp này, như Joshua nhớ lại, giới hạn dưới A ( f $B(f')\leq n-1$$n$$A(f)/B(f)$ $A(f)$$A(f)=\Omega(n\log n)$ của Strassen và Baur (với các hệ số 0-1) vẫn là tốt nhất những gì chúng ta có ngày hôm nay.

$\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$ ). Lưu ý rằng phiên bản Boolean vĩnh viễn chỉ là để quyết định xem một đồ thị lưỡng cực nhất định có khớp hoàn hảo hay không, có mạch đa kích thước.

$\Omega(n \log n)$$\sum_{i=1}^n x_i^n$$\Omega(n \log n)$$x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$