Các vấn đề với Agorithms Thời gian theo cấp số nhân không xác định

Tôi đang tìm kiếm các ví dụ về các vấn đề dễ dàng để có được các thuật toán chạy trong thời gian hoặc 2 O ( n c ) cho một số c > 1 nhưng không biết liệu có một thuật toán nào không thuật toán chạy trong thời gian 2 O ( n ) .$2^{O(n\log n)}$$2^{O(n^c)}$$c>1$$2^{O(n)}$

Tôi chủ yếu quan tâm đến các vấn đề lý thuyết đồ thị, nhưng các ví dụ hay khác cũng sẽ được hoan nghênh.

Chẳng hạn, việc phát triển một thuật toán chạy trong thời gian đối với bài toán đường dẫn Hamilton. Chỉ cần kiểm tra tất cả các hoán vị. Tuy nhiên, sử dụng lập trình động, người ta có thể đạt được thời gian 2 O ( n ) . Có vấn đề kết nối tự nhiên nào khác, hoặc các biến thể của vấn đề đường dẫn Hamilton mà không có thuật toán nào chạy trong thời gian 2 O ( n ) không?$O(n!) = 2^{O(n\log n)}$$2^{O(n)}$$2^{O(n)}$

Trong bài toán Đồ thị đồng nhất, đầu vào là hai đồ thị và H và câu hỏi là liệu có ánh xạ h từ các đỉnh của G đến các đỉnh của H sao cho với mọi cạnh u v ∈ E ( G ) chúng ta có h ( u ) h ( v ) ∈ E ( H ) .$G$$H$$h$$G$$H$$uv\in E(G)$$h(u) h(v)\in E(H)$

Vấn đề có thể được giải quyết trong thời gian bởi một thuật toán brute-force (các O * -notation da yếu tố đa thức trong kích thước đầu vào).$O^*(|V(H)|^{|V(G)})$$O^*$

Tuy nhiên, liệu có thể giải quyết kịp thời hay không và điều này xuất hiện dưới dạng một câu hỏi mở trong$O^*(c^{|V(H)|+|V(G)|})$

• Fedor V. Fomin, Pinar Heggernes, Dieter Kratsch: Thuật toán chính xác cho biểu đồ đồng cấu . Tính toán lý thuyết. Hệ thống. 41 (2): 381-393 (2007)

Sự đồng hình hoán vị của các nhóm hoán vị, hay còn gọi là Liên kết nhóm hoán vị:

Input: Hai danh sách các hoán vị trong , nói ( π 1 , ... , π k ) và ( ρ 1 , ... , ρ ℓ$S_n$$(\pi_1, \dotsc, \pi_k)$$(\rho_1, \dotsc, \rho_\ell)$

Output: Một hoán vị mà π - 1 ⟨ π 1 , ... , π k ⟩ π = ⟨ ρ 1 , ... , ρ ℓ ⟩ , hoặc "KHÔNG đẳng cấu"$\pi \in S_n$$\pi^{-1} \langle \pi_1, \dotsc, \pi_k \rangle \pi = \langle \rho_1, \dotsc, \rho_\ell \rangle$

(nơi có nghĩa là nhóm được tạo ra bởi π i ).$\langle \pi_1, \dotsc, \pi_k \rangle$$\pi_i$

Như với ví dụ về đường dẫn Hamilton, có một tầm thường ! = 2 O ( n log n ) thuật toán. Hiện tại được biết đến nhiều nhất là 2 O ( n ) | G | O ( 1 ) nơi G = ⟨ π 1 , ... , π k ⟩ . Lưu ý rằng | G | có thể lớn bằng n ! (tầm thường: G = S $n! = 2^{O(n \log n)}$$2^{O(n)} |G|^{O(1)}$$G = \langle \pi_1, \dotsc, \pi_k \rangle$$|G|$$n!$$G = S_n$) hoặc thậm chí cho G không cần thiết (xem, ví dụ: Định lý O'Nan-Scott ). * Xóa bỏ sự phụ thuộc vào | G | bị bỏ lại ở đó như là một vấn đề mở quan trọng.$n! / n^{O(1)}$$G$$|G|$

* - Mặc dù thực tế là có thể lớn, nhưng trong trường hợp xấu nhất, điều này dường như không có triệu chứng không tốt hơn tầm thường, hóa ra là 2 O ( n ) | G | O ( 1 ) chính xác là những gì cần thiết cho phép thử đẳng cấu thời gian đa thức của các nhóm không có nhóm con bình thường Abelian.$G$$2^{O(n)}|G|^{O(1)}$

Tính toán số giao nhau của đồ thị. Các thuật toán chính xác hiện có liên quan đến việc xây dựng nó như một chương trình tuyến tính nguyên với một số biến số được tính theo số cạnh [Chimani et al, ESA 2008] . Ngay cả đối với số giao cắt một trang bị hạn chế, trong đó các đỉnh được đặt trên ranh giới của đĩa và cạnh trong của đĩa, các thuật toán đã biết là hàm mũ theo thay vì theo cấp số nhân [Bannister et al , GD 2013] .$O(n\log n)$