Ảnh hưởng tối thiểu dự kiến của hàm Boolean ngẫu nhiên

Đối với hàm Boolean , ảnh hưởng của biến thứ được định nghĩa là trong đó là chuỗi thu được bằng cách lật bit thứ của . Ảnh hưởng tối thiểu của là $f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$ $i$

{Inf}_{i} [f] \overset{d e f}{=} \underset{x \sim {- 1, 1}^{n}}{Pr} [f (x) \neq f (x^{\oplus i})]

$\operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})]$

x^{\oplus i}

$x^{\oplus i}$

i

$i$

x

$x$

f

$f$

MinInf [f] \overset{d e f}{=} min_{i \in [n]} {Inf}_{i} [f] .

$\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f].$

Cho tham số $p\in[0,1]$ , chúng tôi chọn hàm $p$ -random $f$ bằng cách chọn giá trị của nó trên mỗi đầu vào $2^n$ một cách ngẫu nhiên là $1$ với xác suất $p$ và $-1$ với xác suất $1-p$ . Sau đó, thật dễ dàng để thấy rằng, với mọi $i\in[n]$

E_{f} [{Inf}_{i} [f]] = 2 p (1 - p)

$\mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p)$ và fortiori

I_{n} (p) \overset{d e f}{=} E_{f} [MinInf [f]] \leq 2 p (1 - p) .

$I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p).$

Câu hỏi của tôi là:

Có một biểu thức chặt chẽ không có triệu chứng (liên quan đến $n$ ) cho không? Ngay cả đối với , chúng ta có thể có được biểu thức như vậy không? $I_n(p)$ $p=\frac{1}{2}$

Cụ thể, tôi quan tâm đến các điều khoản đặt hàng thấp, tức là tôi quan tâm đến một tương đương tiệm cận với số lượng $2p(1-p)-I_n(p)$ .

(Câu hỏi tiếp theo, nhưng phụ thuộc vào câu hỏi đầu tiên, là liệu người ta cũng có thể có được giới hạn tập trung tốt xung quanh kỳ vọng này hay không.)

Bằng cách giới hạn của Chernoff, người ta cũng có thể chỉ ra rằng mỗi $\operatorname{Inf}_i[f]$ có sự tập trung tốt, do đó, bằng một liên kết ràng buộc chúng ta có được (nếu tôi không gây rối quá nhiều)

\frac{1}{2} - O (\sqrt{\frac{n}{2^{n}}}) \leq I_{n} (\frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2}

$\frac{1}{2} - O\left(\sqrt{\frac{n}{2^n}}\right) \leq I_n\left(\frac{1}{2}\right) \leq \frac{1}{2}$ nhưng đây là rất có thể lỏng lẻo ở giới hạn dưới (do liên kết ràng buộc) và chắc chắn ở giới hạn trên. (Tôi đặc biệt tìm kiếm một giới hạn trên ít hơn so với tầm thường

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ).

Lưu ý rằng một trong những vấn đề khi thực hiện điều đó, ngoài việc lấy tối thiểu $n$ biến ngẫu nhiên phân tán (ảnh hưởng), là các biến ngẫu nhiên này không độc lập ... mặc dù tôi cho rằng mối tương quan của chúng sẽ phân rã "khá nhanh" với $n$ .

(Đối với giá trị của nó, tôi đã tính toán rõ ràng vài đầu tiên $I_n(1/2)$ lên đến $n=4$ và đã chạy mô phỏng để ước tính các giá trị sau, tối đa $n=20$ hoặc hơn. Không chắc điều này hữu ích như thế nào có thể, nhưng tôi có thể bao gồm điều đó một khi tôi trở lại văn phòng của mình.)

reference-request pr.probability boolean-functions

— Clement C.
nguồn

Dưới đây là một vài cái đầu tiên (chỉ có 4 cái đầu tiên là chính xác, những cái khác là từ lấy mẫu ngẫu nhiên (để ước tính ảnh hưởng) trung bình trên 10 ^ 5 hàm được tạo ngẫu nhiên): (lưu ý: đối với mô phỏng, không chắc chữ số thứ 4 có thực sự không đáng kể)

\begin{aligned} 1 & 0.500 \\ 2 & 0.375 \\ 3 & 0.3359375 \\ 4 & 0.339141845703125 \\ 5 & 0.3623 \\ 6 & 0.3907 \\ 7 & 0.4166 \\ 8 & 0.4373 \\ 9 & 0.4535 \\ 10 & 0.4659 \\ 11 & 0.4751 \\ 19 & 0.4965 \\ 20 & 0.4967 \end{aligned}

$\begin{align}1 &\qquad 0.500\\ 2 &\qquad 0.375\\ 3 &\qquad 0.3359375\\ 4 &\qquad 0.339141845703125\\ 5 &\qquad 0.3623\\ 6 &\qquad 0.3907\\ 7 &\qquad 0.4166\\ 8 &\qquad 0.4373\\ 9 &\qquad 0.4535\\ 10 &\qquad 0.4659\\ 11 &\qquad 0.4751\\ 19 &\qquad 0.4965\\ 20 &\qquad 0.4967\\ \end{align}$

— Clement C.

Đây là một bước đi đúng hướng ...

Tôi sẽ lập luận rằng với , bạn có . $p=1/2$ $1/2 - I_n(1/2) = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

(Điều này không hoàn toàn mạnh như mong muốn. Có lẽ ai đó có thể củng cố lập luận để hiển thị .) Đây là một bản phác thảo bằng chứng. $\Omega(\sqrt{n/2^n})$

Nó đủ để hiển thị . Chúng tôi làm điều đó. $1/2 - E_f[\min(\text{Inf}_1[f],\text{Inf}_2[f])] = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

Lưu ý rằng nếu và hoàn toàn độc lập, chúng tôi sẽ thực hiện vì kỳ vọng tối thiểu của hai khoản tiền độc lập là . Đầu tiên, chúng tôi sẽ tranh luận cẩn thận rằng hai khoản tiền gần như độc lập. $\text{Inf}_1[f]$ $\text{Inf}_2[f]$ $1/2-\Omega(\sqrt{1/2^n})$

Xét vũ trụ của các điểm . Gọi và trong -neighbor nếu chúng chỉ khác nhau ở tọa độ thứ . Giả sử hai hàng xóm đóng góp (vào ) nếu . (Vì vậy, là số lượng đóng góp của -neighbor, chia cho .) Lưu ý rằng, nếu và là -neighbor và và là xóm $X=\{-1,1\}^n$ $x$ $x'$ $X$ $i$ $i$ $\text{Inf}_i[f]$ $f(x) \ne f(x')$ $\text{Inf}_i[f]$ $i$ $2^{n-1}$ $x$ $x'$ $i$ $y$ $y'$ $i$ $\{x,x'\}=\{y,y'\}$ hoặc . Do đó, số lượng -neighbor đóng góp là tổng của biến ngẫu nhiên độc lập, mỗi biến có kỳ vọng . $\{x,x'\}\cap\{y,y'\}=\emptyset$ $i$ $2^{n-1}$ $1/2$

Phân vùng vũ trụ thành nhóm kích thước bốn, trong đó và nằm trong cùng một nhóm iff và đồng ý với tất cả trừ hai tọa độ đầu tiên của chúng. Sau đó, với mỗi cặp của 1 hàng xóm và mỗi cặp của 2 hàng xóm, và nằm trong cùng một nhóm. Đối với một nhóm nhất định và , hãy để rv là số người đóng góp -neighbor trong . Sau đó, ví dụ, tổng số đóng góp 1 hàng xóm là $X$ $2^{n-2}$ $x$ $x'$ $x$ $x'$ $(x,x')$ $(x,x')$ $x$ $x'$ $g$ $i\in\{1,2\}$ $c^g_i$ $i$ $g$ $\sum_g c^g_1$ , tổng của biến ngẫu nhiên độc lập, mỗi biến trong . $2^{n-2}$ $\{0,1,2\}$

Lưu ý rằng và là độc lập nếu . Theo phân tích trường hợp, nếu , phân phối chung của và là $c^g_1$ $c^{g'}_2$ $g\ne g'$ $g=g'$ $c^g_1$ $c^g_2$

\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \\ 1 & 0 & 1 / 2 & 0 \\ 2 & 1 / 8 & 0 & 1 / 8 \end{array}

$\begin{array}{c|ccc} & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ 1 & 0 & 1/2 & 0 \\ 2 & 1/8 & 0 & 1/8 \\ \end{array}$

Đặt rv biểu thị tập hợp các nhóm trung tính . (Họ đóng góp chính xác số tiền dự kiến của họ cho ảnh hưởng 1 và 2 ảnh hưởng.) Số lượng đóng góp 1 lân cận là $N=\{ g : c^g_1=c^g_2=1\}$

| N | + \sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g} .

$|N| + \sum_{g\in \overline{N}} c^g_1.$

Được điều kiện trên , với mỗi rv's và là độc lập (bằng cách kiểm tra phân phối chung của chúng ở trên), vì vậy (điều kiện trên ) tất cả rv là được thống nhất trên vì vậy, $N$ $g\in \overline N$ $c^g_1$ $c^g_2$ $N$ $\{c^g_i : i\in\{1,2\}, g\in\overline N\}$ $\{0,2\}$

E [| \bar{N} | - min (\sum_{g \in \bar{N}} c_{1}^{g}, \sum_{g \in \bar{N}} c_{2}^{g}) | N] \geq Θ (\sqrt{| \bar{N} |}) .

$\textstyle E\Big[|\overline N|- \min\big(\sum_{g\in \overline N} c^g_1, \sum_{g\in \overline N} c^g_2\big) ~\Big|~ N\Big] \ge \Theta(\sqrt{|\overline N|}).$

Cuối cùng, lưu ý rằng mỗi nhóm là trung tính với xác suất 1/2, vì vậy cực kỳ nhỏ, giả sử (và thậm chí trong trường hợp đó, phía bên trái ở trên ít nhất là ) . Từ đây, giới hạn dưới được tuyên bố sau ... $\Pr[|\overline N| \le 2^{n-2}/3]$ $\exp(-\Omega(2^n))$ $-2^n$

— Neal trẻ
nguồn

Cảm ơn bạn! Tôi sẽ thử và xem có cách nào để điều chỉnh cách tiếp cận của bạn có thêm dưới gốc không ...

n

$n$

— Clement C.

Ảnh hưởng tối thiểu dự kiến ​​của hàm Boolean ngẫu nhiên

Ảnh hưởng tối thiểu dự kiến của hàm Boolean ngẫu nhiên