Làm thế nào để xác định xem một bằng chứng có yêu cầu kỹ thuật lập luận bậc cao hơn không?

Câu hỏi:

Giả sử tôi có một đặc điểm kỹ thuật của một vấn đề bao gồm các tiên đề và một mục tiêu (tức là vấn đề chứng minh liên quan là liệu mục tiêu đó có thỏa đáng với tất cả các tiên đề hay không). Chúng ta cũng giả sử rằng vấn đề không chứa bất kỳ mâu thuẫn / mâu thuẫn nào giữa các tiên đề. Có cách nào để xác định trước (nghĩa là không cần xây dựng bằng chứng đầy đủ trước) rằng việc chứng minh vấn đề sẽ yêu cầu "lý luận bậc cao"?

Bằng "lý luận bậc cao", tôi có nghĩa là áp dụng các bước chứng minh đòi hỏi logic bậc cao hơn được viết ra. Một ví dụ điển hình cho "lý luận bậc cao" sẽ là cảm ứng: Viết ra một sơ đồ cảm ứng về nguyên tắc đòi hỏi phải sử dụng logic bậc cao hơn.

Thí dụ:

Người ta có thể chỉ định vấn đề bằng chứng "Có thêm vào hai số tự nhiên giao hoán không?" sử dụng logic thứ nhất (nghĩa là xác định số tự nhiên thông qua các hàm tạo zero / succ cùng với các tiên đề chuẩn, cùng với các tiên đề xác định đệ quy hàm "cộng"). Chứng minh vấn đề này đòi hỏi phải có cảm ứng về cấu trúc của đối số thứ nhất hoặc thứ hai của "cộng" (tùy thuộc vào định nghĩa chính xác của "cộng"). Tôi có thể biết điều này trước khi cố gắng chứng minh nó không, ví dụ bằng cách phân tích bản chất của vấn đề đầu vào ...? (Tất nhiên, đây chỉ là một ví dụ đơn giản cho mục đích minh họa - trong thực tế, điều này sẽ thú vị cho các vấn đề chứng minh khó khăn hơn là giao hoán cộng.)

Một số bối cảnh khác:

Trong nghiên cứu của tôi, tôi thường cố gắng áp dụng các trình xử lý định lý bậc nhất tự động như Vampire, eprover, v.v. để giải quyết các vấn đề chứng minh (hoặc một phần của các vấn đề chứng minh), một số trong đó có thể yêu cầu lý luận bậc cao hơn. Thông thường, các provers đòi hỏi khá nhiều thời gian để đưa ra một bằng chứng (với điều kiện là có một bằng chứng chỉ yêu cầu các kỹ thuật lý luận bậc nhất). Tất nhiên, cố gắng áp dụng một định lý định lý bậc nhất cho một vấn đề đòi hỏi lý luận bậc cao hơn thường dẫn đến thời gian chờ.

Do đó, tôi đã tự hỏi liệu có bất kỳ phương pháp / kỹ thuật nào có thể cho tôi biết trước liệu một vấn đề chứng minh sẽ yêu cầu các kỹ thuật lý luận bậc cao hay không (có nghĩa là "đừng lãng phí thời gian để đưa nó cho một người ủng hộ định lý bậc nhất" ) hoặc không, ít nhất có thể cho các vấn đề đầu vào cụ thể.

Tôi đã tìm trong tài liệu để tìm câu trả lời cho câu hỏi của mình và hỏi một số nhà nghiên cứu từ lĩnh vực định lý chứng minh về điều đó - nhưng cho đến nay, tôi không nhận được câu trả lời hay nào. Kỳ vọng của tôi sẽ có một số nghiên cứu về chủ đề đó từ những người cố gắng kết hợp chứng minh định lý tương tác và chứng minh định lý tự động (cộng đồng Coq? Cộng đồng Isabelle (Sledgehammer)?) - nhưng cho đến nay, tôi không thể tìm thấy gì.

Tôi đoán rằng nói chung, vấn đề tôi nêu ra ở đây là không thể giải quyết được (phải không?). Nhưng có lẽ có câu trả lời tốt cho các phiên bản tinh tế của vấn đề ...?

Tóm lại, mọi định lý được nêu trong logic thứ nhất đều có chứng minh bậc nhất.

Trong cuốn sách "Giới thiệu về logic toán học và lý thuyết loại", Peter B. Andrew phát triển cả logic thứ nhất và hệ thống logic bậc cao Q ₀ , thường được coi là cơ sở lý thuyết của các máy chủ bậc cao hiện đại . (Xem phần giới thiệu về logic HOL chẳng hạn.)

Đối với Q ₀ và các hệ thống tương tự, Andrew cho thấy rằng các logic thứ tự cao hơn mà anh mô tả có thể được coi là phần mở rộng bảo thủ của logic thứ nhất và viết (ấn bản thứ hai, trang 259) rằng, "Tóm lại, mọi định lý bậc nhất của lý thuyết loại có bằng chứng thứ nhất. "

Tuy nhiên, với những lo ngại thực tế của bạn, tôi cũng trích dẫn đoạn văn sau:

"Tuy nhiên, một số định lý về logic bậc một có thể được chứng minh một cách hiệu quả nhất bằng cách sử dụng các khái niệm chỉ có thể được biểu thị bằng logic bậc cao. Các ví dụ có thể được tìm thấy trong [Andrews và Giám mục, 1996] và [Boolos, 1998, Chương 25] Statman đã chứng minh [Statman, 1978, Dự luật 6.3.5] rằng độ dài tối thiểu của một bằng chứng trong logic thứ nhất của một wff của logic thứ nhất có thể dài hơn một chút so với độ dài tối thiểu của một chứng minh của cùng một wff trong Kết quả logic thứ hai Một kết quả có liên quan của Godel [Godel, 1936] là nói chung, việc chuyển sang logic của bậc cao hơn tiếp theo có tác dụng, không chỉ đưa ra những đề xuất nhất định không thể chứng minh được trước đó, mà còn về việc đưa ra có thể rút ngắn, bằng một số tiền bất thường, vô số bằng chứng đã có sẵn '. Một bằng chứng đầy đủ về điều này có thể được tìm thấy trong [Buss,1994]. "