Thực hiện các ngôn ngữ trong nội bộ

Một trong những hậu quả thiết thực nhất của sự tương ứng "Curry-Howard-Lambek" là cú pháp của nhiều lambda-calucli / logic có thể được sử dụng để thực hiện các công trình trong một thể loại có cấu trúc đầy đủ.

Ví dụ, Hình học vi phân tổng hợp có các mô hình trong topoi có chứa và nhúng danh mục đa tạp trơn, do đó bạn có thể sử dụng logic bậc cao hơn để xây dựng các hàm trơn và giải phương trình vi phân.

Một ví dụ khác, trong bài báo này , họ nhận thấy rằng "lập chỉ mục bước" thực sự chỉ hoạt động với các presheaves so với naturals (một topos khác), vì vậy bạn có thể sử dụng cú pháp của logic bậc cao hơn để xác định quan hệ logic được lập chỉ mục theo bước mà không tẻ nhạt Thao tác các bước.

Cuối cùng, Andrej Bauer cho thấy trong câu hỏi MO này rằng bạn có thể làm được rất nhiều với "ngôn ngữ bên trong" của các biểu đồ hàng đầu.

Câu hỏi của tôi là, có ai nhận ra tầm nhìn này theo nghĩa đen trong một câu tục ngữ định lý không? Chẳng hạn, nếu tôi chỉ ra rằng một danh mục tôi quan tâm là Cartesian Đóng, sau đó tôi có thể chuyển sang "chế độ bên trong" nơi tôi viết cú pháp lambda-tính toán (với một số tiên đề cụ thể của mô hình) và sau đó có thể chuyển về "chế độ bên ngoài" và thao tác chúng như các đối tượng trong mô hình của tôi?

Trong cùng cực, tôi thậm chí sẽ muốn lý thuyết topos và logic bậc cao hơn, vì vậy tôi có thể viết các mối quan hệ logic được lập chỉ mục từng bước của mình mà không cần các bước, hoặc dạy cơ học cổ điển với một người ủng hộ định lý bằng SDG. Đây dường như là một ý tưởng rất mạnh mẽ khi ai đó có thể thực hiện lý thuyết loại phụ thuộc mở rộng một lần và cung cấp công cụ tốt và sau đó sử dụng nó với các ứng dụng cực kỳ khác nhau như được mô tả ở trên.

Trong Lý thuyết mở rộng với sự ép buộc của Guilhem Jaber, Nicolas Tabareau và Matthieu Sozeau, 2012, cưỡng bức trực giác được trình bày như là một sự nội tâm hóa của việc xây dựng presheaf, được thực hiện như một bản dịch bảo tồn kiểu theo phong cách dịch thuật tham số của Bernardy và Lasson .

Điều này có nghĩa là bạn có thể định nghĩa các thuật ngữ trong lý thuyết loại thông thường của mình và sau đó "dịch chúng" thành "lớp buộc" trong đó chúng được hiểu là bản dịch ở một loại dịch khác. Ví dụ, bản dịch được tạo ra bằng cách lập chỉ mục cho việc giảm số tự nhiên cho phép bạn sử dụng các thuật ngữ thông thường của mình trong một lý thuyết sau dịch thuật trong đó một laterphương thức có thể xác định được. Điều này nghe có vẻ khá gần với ý tưởng của bạn về làm việc nội bộ trong các đỉnh cây.

Dường như họ có một plugin Coq mới, đơn giản hơn đang thực hiện những ý tưởng này tại CoqHott / coq-forcing , và đặc biệt SI.v xây dựng bản dịch buộc này để lập chỉ mục bước. Thật không may, trong khi nó thực hiện công việc xây dựng mô hình, không có ví dụ nào về việc sử dụng nó cho các định nghĩa được lập chỉ mục theo bước trong thực tế (điều duy nhất được dịch thay vì được định nghĩa trong lớp cưỡng bức Forcing Translate eq, không phải là thông tin khủng khiếp). Bạn có thể thử trải nghiệm để xem cách sử dụng tiện lợi.

Nếu bạn chỉ làm việc bằng ngôn ngữ nội bộ thì bạn chỉ có thể sử dụng trợ lý chứng minh. Có một kỹ thuật nhỏ là có hoặc không có quyền hạn, vì trợ lý chứng minh thường là loại lý thuyết, nhưng Coq Propphù hợp với cách giải thích Coq trong topos.

Tuy nhiên, bạn đang đề xuất sử dụng máy như một công cụ dịch thuật sẽ đưa bạn từ ngôn ngữ nội bộ sang phiên dịch trong mô hình. Đây là một ý tưởng tốt, ngoại trừ tôi nghĩ nó sẽ không hữu ích như người ta có thể mong đợi. Đúng là việc dịch từ ngôn ngữ bên trong sang mô hình là cơ học, nhưng thật không may, nó tạo ra các bản dịch phức tạp cần nhiều sự xoa bóp trước khi chúng hữu ích. (Nếu bạn đã từng thử sử dụng cách diễn giải Lawvere-Tierney về logic topos trong một topos sheaf bạn sẽ biết.)

Có một vấn đề nữa, đó là dịch ngược . Chúng ta thường bắt đầu với một khái niệm hoặc đối tượng đã biết trong mô hình, và muốn một mô tả hay hoặc axomatization của nó trong ngôn ngữ bên trong. Đây thường là công việc khó khăn và toán học thực sự. Tôi không thấy các trợ lý bằng chứng hiện tại có thể giúp đỡ như thế nào.

Về mặt kỹ thuật, người ta sẽ phải lo lắng về việc chính thức hóa:

• cú pháp và các quy tắc của ngôn ngữ nội bộ
• ngươi mâu
• giải thích

Đó là rất nhiều công việc, quá. Một số dự án dọc theo các dòng này đã được thực hiện (ví dụ: việc giải thích -calculus trong danh mục đóng cartesian). Tôi không nhận thức được bất cứ ai chính thức hóa các ví dụ, ví dụ.$\lambda$

Tóm lại, sử dụng trợ lý bằng chứng để giúp kiểm tra xem bạn không làm gì sai trong ngôn ngữ nội bộ là một ý tưởng hay (thực tế, đó là một ý tưởng rất tốt, được chứng thực bởi lý thuyết loại đồng luân, nơi chúng tôi đã sử dụng Coq và Agda để phát triển các định lý mới mà sau này không được định dạng thành tiếng Anh), nhưng sử dụng nó để nhận được các tuyên bố về các mô hình dường như không hoạt động nếu không có nhiều công việc phụ. Điều đó không có nghĩa là bạn không nên thử!