Tại sao chúng ta coi không gian log là một mô hình tính toán hiệu quả (thay vì không gian polylog)?

Đây có thể là một câu hỏi chủ quan chứ không phải là một câu trả lời cụ thể, nhưng dù sao đi nữa.

Trong lý thuyết phức tạp, chúng tôi nghiên cứu khái niệm tính toán hiệu quả. Có các lớp như là viết tắt của thời gian đa thức và L là viết tắt của không gian nhật ký . Cả hai đều được coi là một loại "hiệu quả" và họ nắm bắt được những khó khăn của một số vấn đề khá tốt.$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$

Nhưng có một sự khác biệt giữa và L : trong khi thời gian đa thức, P , được định nghĩa là sự kết hợp của các vấn đề chạy trong thời gian O ( n k ) cho bất kỳ hằng số k , nghĩa là,$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{P}$$O(n^k)$$k$

,$\mathsf{P} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME[n^k]}$

không gian nhật ký, , được định nghĩa là S P A C E [ log n ] . Nếu chúng ta bắt chước định nghĩa của P , nó sẽ trở thành$\mathsf{L}$$\mathsf{SPACE[\log n]}$$\mathsf{P}$

,$\mathsf{PolyL} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{SPACE[\log^k n]}$

Trong đó được gọi là lớp không gian polylog . Câu hỏi của tôi là:$\mathsf{PolyL}$

Tại sao chúng ta sử dụng không gian nhật ký như là khái niệm tính toán hiệu quả, thay vì không gian polylog?

Một vấn đề chính có thể là về các bộ vấn đề hoàn chỉnh. Trong logspace nhiều mức giảm một, cả và L đều có vấn đề hoàn toàn. Ngược lại, nếu P o l y L có vấn đề hoàn toàn theo các mức giảm như vậy, thì chúng ta sẽ mâu thuẫn với định lý phân cấp không gian. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta chuyển sang giảm polylog? Chúng ta có thể tránh những vấn đề như vậy? Nói chung, nếu chúng tôi cố gắng hết sức mình để phù hợp với P o l y L vào khái niệm về hiệu quả, và (nếu cần thiết) sửa đổi một số các định nghĩa để có được tất cả các đặc tính tốt một lớp "đẹp" nên có, thế nào đến nay chúng ta có thể đi đâu?$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{PolyL}$$\mathsf{PolyL}$

Có bất kỳ lý do lý thuyết và / hoặc thực tế để sử dụng không gian nhật ký thay vì không gian polylog?

Lớp nhỏ nhất chứa thời gian tuyến tính và đóng dưới chương trình con là P. Lớp nhỏ nhất chứa không gian nhật ký và đóng dưới chương trình con vẫn là không gian nhật ký. Vì vậy, P và L là các lớp mạnh nhất nhỏ nhất về thời gian và không gian tương ứng, đó là lý do tại sao họ cảm thấy phù hợp để mô hình hóa tính toán hiệu quả.

$\text{SPACE}[\log^2 n] \subseteq \text{P}$$\log^{k-1}(n)$$\text{NSPACE}$$[\log^k n]$$\text{-complete}$

$\text{PLOSS} = \bigcup_k \text{TISP}[n^k, k \, \log^2 n]$$\text{DCFL} \subseteq \text{PLOSS}$$\text{SC}^2$$\text{SC}^k$

$2^{O(\log n)} = \operatorname{poly}(n)$

$\text{NSPACE}[\log^k n] \subseteq \text{SPACE}[\log^{2k}n]$

$\text{SC}^k = \text{TISP}[\operatorname{poly}(n), \log^k n]$

Tôi nghĩ rằng tất cả các câu trả lời khác là rất tốt; Tôi sẽ cố gắng đưa ra một quan điểm khác về vấn đề này.

Tôi không biết mô hình P tính toán "hiệu quả" như thế nào trong thế giới thực, nhưng chúng tôi thích lớp học vì các đặc tính đóng tốt đẹp của nó và các lý do toán học khác. Tương tự, L cũng là một lớp tốt đẹp do một số lý do đã nói ở trên.

Tuy nhiên, như bạn đã nhận xét, nếu chúng ta nới lỏng định nghĩa "hiệu quả" sang thời gian đa thức, thì PolyL cũng hiệu quả. Chúng ta có thể thảo luận về lý thuyết phức tạp trong đó chúng ta cho phép các lớp được xác định bằng logarit liên kết trên một số tài nguyên để sử dụng tài nguyên polylog thay thế. Tương ứng, chúng tôi cũng sẽ nới lỏng các định nghĩa về NC, NL, v.v. để cho phép các mạch kích thước đa thức thay thế. Nếu chúng ta làm điều này, NC ₁ , L, NL và NC đều trùng với lớp PolyL. Theo nghĩa này, PolyL là một lớp mạnh mẽ vì nhiều lớp tự nhiên trùng với nó. Để biết thêm thông tin về lý thuyết phức tạp với log -> polylog và đa thức -> đa thức, xem các lớp mạch kích thước Quasipolynomial của Barrington.

Một lý do khác để nghiên cứu polyL hoặc các lớp tương tự như quasi-AC ₀ là trong khi sự phân tách tiên tri giữa (nói) ParityP và PH ngụ ý rằng PARITY không có trong AC ₀ , thì hàm ý ngược lại không được biết là đúng. Mặt khác, PARITY không được chứa trong quasi-AC ₀ khi và chỉ khi có sự phân tách sấm sét giữa ParityP và PH. Tương tự, các lớp quasi-TC ₀ và quasi-AC ₀ khác nhau khi và chỉ khi có sự phân tách orory giữa CH và PH. Vì vậy, các lớp phức tạp thông thường như PH, ModPH, CH, v.v. khi được thu nhỏ theo cấp số nhân để chứng minh kết quả tiên tri biến thành các phiên bản đa thức của các lớp thông thường AC ₀ , ACC ₀ và TC₀ tương ứng. Tương tự, đối số được sử dụng trong định lý Toda (PH được chứa trong P ^PP ) có thể được sử dụng để chỉ ra rằng quasi-AC ₀ được chứa trong độ sâu-3 quasi-TC ₀ . (Tôi không biết liệu kết luận tương tự có được biết cho các phiên bản thông thường của các lớp này hay không. Tôi đã thấy điều này được liệt kê là một vấn đề mở trong một số bài viết.)