Lỗi tràn ngập trong thuật toán Euclide mở rộng

Xin lỗi nếu tôi nhầm chỗ đặt câu hỏi (có lẽ tôi nên truy cập stackoverflow.com/mathoverflow.net?).

Tôi tự hỏi nếu có bằng chứng rằng khi đánh giá thuật toán Euclide mở rộng, các hệ số của Bézout (đó là s và t trong danh tính là + bt = gcd ( a , b )) sẽ không vượt quá một số giá trị hợp lý (tùy thuộc vào a, b, tôi đoán ). Cụ thể là triển khai trên một số ngôn ngữ lập trình có mục đích chung, tôi quan tâm đến tính chính xác của chương trình.

Nói chính xác hơn, tôi có thể đề cập rằng tôi sử dụng mô tả thuật toán của Victor Shoup (4.2 trong cuốn sách của anh ấy Giới thiệu tính toán về Lý thuyết số và Đại số số có sẵn từ trang chủ của anh ấy).

Đây được gọi là danh tính / bổ đề của Bézout (không bị nhầm lẫn với định lý của Bézout trong hình học đại số), trong đó nêu rõ:

$a,b \neq 0$$\gcd(a,b) = ax + by$$x,y$$|x| \leq |b|$$|y| \leq |a|$

Bằng chứng có thể được thành lập trong sách giáo khoa đại số tiêu chuẩn. Ngoài ra, bạn có thể tự chứng minh điều đó bằng cách cảm ứng trên các bước lặp của quy trình gcd.

Nói chung, điều này đúng trong mọi miền Euclide với hàm Euclide nhân với . Trong trường hợp ở đây khi , chúng ta cóđó là cấp số nhân.$R$$f$$R = \mathbf{Z}$$f(x) = |x|$