Bit quan trọng nhất của phép nhân số nguyên và sơ đồ quyết định nhị phân

Đặt và y hai số nhị phân có n bit và z = x ⋅ y số nhị phân (độ dài 2 n ) của tích của x và y . Chúng tôi muốn để tính nhất siginifcant chút z 2 n - 1 trong những sản phẩm z = z 2 n - 1 ... z 0 .$x$$y$$n$$z = x \cdot y\ $$2n$$x$$y$$z_{2n-1}$$z = z_{2n-1} \ldots z_0$

Để phân tích độ phức tạp của hàm này trong mô hình sơ đồ quyết định nhị phân (cụ thể là các chương trình phân nhánh đọc một lần), tôi cố gắng tìm một số biểu thức tương đương cho trường hợp . Điều rõ ràng đầu tiên là z 2 n - 1 = 1 ⇔ x ⋅ y ≥ 2 2 n - 1 (ở đây x và y là các số nguyên tương ứng với số nhị phân). Tôi muốn có được một trực giác những gì xảy ra nếu tôi đặt một số bit đầu vào không đổi. Ví dụ: nếu tôi đặt bit đầu vào quan trọng nhất từ$z_{2n-1} = 1$$z_{2n-1} = 1 \Leftrightarrow x \cdot y \geq 2^{2n-1}$$x$$y$ và y đến 0 Tôi nhận được hàm 0 không đổi. Nhưng các bit có ý nghĩa thấp hơn không ảnh hưởng đến kết quả như vậy.$x$$y$

Có bất kỳ biểu thức tương đương nào khác cho trường hợp giúp nhiều hơn để xem điều gì xảy ra nếu tôi sửa một số bit đầu vào không? Có phương pháp tinh chế nào để tính tích của hai số nhị phân có thể giúp được không? Hay bạn có một số cách tiếp cận khác cho vấn đề này?$z_{2n-1} = 1$

Một nguồn thú vị là DE Knuth: Nghệ thuật lập trình máy tính, Tập 4, Fascicle 1, Thủ thuật & kỹ thuật bitwise; Sơ đồ quyết định nhị phân , Addison-Wesley, Pearson Education 2009

Trên trang 96, có một BDD cho tất cả các bit z = x⋅y, trong đó x và y có 3 bit. Nó cho thấy, trong trường hợp 3 bit, BDD đại diện cho bit quan trọng nhất có 7 nút không đầu cuối. Xem hình ảnh dưới đây, tôi đã vẽ lại bằng các chỉ số của bạn x = (x2, x1, x0) và y = (y2, y1, y0).

Trên trang 140 trong cuốn sách của Knuth, có một câu hỏi (số 183) về BDD đại diện cho bit có ý nghĩa nhất để nhân hai số với vô số bit (nó được gọi là "giới hạn hàm bit dẫn đầu") - điều này tương tự với những gì bạn đang liếm cho! Câu trả lời ở trang 223 đưa ra các mức đầu tiên của BDD kết quả và thảo luận về số lượng nút trên tất cả các cấp, nhưng không may là nó không đưa ra thuật toán để xây dựng một BDD như vậy.

Hình 1: Bit có ý nghĩa nhất cho phép nhân của (x2, x1, x0) * (y2, y1, y0)