Kết hợp tối đa trọng lượng và chức năng mô đun

Cho đồ thị hai cực có trọng số dương cho phép với bằng với trọng số tối đa phù hợp trong đồ thị . $G = (U \cup V, E)$ $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ $f(S)$ $G[S\cup V]$

Có đúng là là một hàm con? $f$

matching submodularity

— George Octavian Rabanca
nguồn

Bạn nghĩ sao? Bạn đã thử chứng minh / từ chối nó chưa?

— Yuval Filmus

Theo trực giác có vẻ như nó là sự thật nhưng tôi không thể chứng minh điều đó. Ngoài ra tôi nghĩ rằng nếu nó đúng thì đó là một kết quả nổi tiếng nhưng tôi không thể tìm thấy một tài liệu tham khảo.

— George Octavian Rabanca

Điều này đúng với trường hợp không có trọng số, vì nó có thể được giảm xuống mức tối thiểu. Không rõ ràng làm thế nào để chứng minh phiên bản có trọng số ...

— Chao Xu

Xét

với trọng số cạnh 1,1,1,2.

K_{2, 2}

$K_{2,2}$

— András Salamon

@ AndrásSalamon Có vẻ như trong bước cuối cùng, bạn cho rằng

là phụ gia, điều này không đúng. Việc kết hợp tối đa

có thể sử dụng các đỉnh đã được sử dụng bởi cả hai kết hợp của

và

. Tôi có một bằng chứng cho điều này bây giờ nhưng chắc chắn có liên quan nhiều hơn thế này.

f

$f$

S \cap T

$S\cap T$

S ∖ T

$S \setminus T$

T ∖ S

$T \setminus S$

— George Octavian Rabanca

Định nghĩa . Với tập hợp hữu hạn , hàm tập hợp là mô đun con nếu với bất kỳ nào giữ rằng: $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

Bổ đề Cho một hai phía đồ thị với trọng lượng cạnh tích cực, chúng ta hãy là chức năng mà các bản đồ với giá trị của các kết hợp trọng lượng tối đa trong . Khi đó là mô đun con. $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

Bằng chứng. Fix hai bộ và để cho và có hai matchings cho các đồ thị và tương ứng. Để chứng minh Bổ đề là đủ để chứng minh rằng nó có thể phân vùng các cạnh trong và thành hai matchings rời nhau và $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ cho các đồ thị và tương ứng. $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

Các cạnh của và tạo thành một tập hợp các đường dẫn xen kẽ và chu kỳ. Hãy biểu thị bộ sưu tập này và nhận thấy rằng không có chu kỳ chứa đỉnh từ hoặc . Đây giữ vì không phù hợp với những đỉnh. $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ $Y\setminus X$ $M_\cap$

Hãy là tập hợp các đường dẫn trong với ít nhất một đỉnh trong và để cho là tập hợp các đường dẫn trong với ít nhất một đỉnh trong . Hai đường dẫn như vậy được mô tả trong hình dưới đây. $\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ $\mathcal{P}_Y$ $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

Yêu cầu bồi thường 1. . $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

Giả bởi mâu thuẫn rằng có tồn tại một con đường . Hãy là một đỉnh trong trên con đường và tương tự để cho là một đỉnh trong trên con đường . Quan sát rằng vì không hay thuộc về họ không thuộc về khớp theo định nghĩa, và do đó họ là những điểm cuối của con đường . Hơn nữa, vì cả và $P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ $X \cap Y$ $M_\cap$ $P$ $x$ là trong , con đường có chiều dài chẵn và vì nó là một con đường xen kẽ, một trong hai cạnh đầu tiên hoặc cuối cùng thuộc về . Do đó khớp với hoặc , mâu thuẫn với định nghĩa và chứng minh cho yêu cầu. $y$ $A$ $P$ $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

Hãy và Rõ ràng là

M_{X} = = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$ và

. Để chứng minh định lý, vẫn còn cho thấy

và

là các kết quả hợp lệ tương ứng cho

và

. Để thấy rằng

là một kết quả khớp hợp lệ cho

trước tiên hãy quan sát rằng không có đỉnh nào của

được khớp với

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

từ

không giao nhau

bằng điểm 1, và

không giao nhau

theo định nghĩa. Do đó,

chỉ sử dụng đỉnh của

. Thứ hai quan sát rằng mỗi đỉnh

là lần xuất hiện của ít nhất một cạnh của

vì nếu không thì

thuộc về một trong hai hai cạnh của

hoặc hai cạnh của

, mâu thuẫn với định nghĩa. Điều này chứng tỏ rằng

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$ là kết hợp hợp lệ cho

; cho thấy

là một kết quả khớp hợp lệ cho

là tương tự.

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

— George Octavian Rabanca
nguồn

Điều này có vẻ tuyệt vời! Như một gợi ý nhỏ: các định nghĩa về

và

không đối xứng, do đó, tuyên bố cuối cùng của bạn rằng "

... là tương tự" không phải là ngay lập tức. Rõ ràng hơn (tôi nghĩ) nếu bạn để

biểu thị các thành phần kết nối không chạm vào bất kỳ đỉnh trong

, và sau đó đặt

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

và

để được giống với

và

hoán đổi và sau đó cuối cùng

đổi thành

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$

— Andrew Morgan