ALogTime! = PH khó chứng minh (và chưa biết)?

Lance Fortnow gần đây đã tuyên bố rằng việc chứng minh L! = NP nên dễ dàng hơn việc chứng minh P! = NP :

5. Tách NP khỏi không gian logarit. Tôi đã đưa ra bốn cách tiếp cận trong một cuộc khảo sát trước blog năm 2001 về đường chéo (Phần 3) mặc dù không có cách nào được đưa ra. Nên dễ dàng hơn nhiều so với việc tách P khỏi NP.

Phần 3 trong khảo sát được liên kết tuyên bố rằng không có kết quả sụp đổ tiên tri có ý nghĩa:

Trong khi câu hỏi P! = NP vẫn còn khá ghê gớm, thì câu hỏi L! = NP có vẻ dễ hiểu hơn nhiều. Chúng tôi không có lý do để nghĩ rằng câu hỏi này là khó khăn. Việc thiếu các mô hình tương đối hóa tốt cho không gian có nghĩa là chúng ta không có mô hình tiên tri có ý nghĩa nơi L và NP sụp đổ. Ngoài ra vì L là một lớp đồng nhất, các giới hạn Razborov-Rudich [RR97] không được áp dụng.

Một câu hỏi về các rào cản tương đối hóa đã biết đối với L! = NP trên trang web này đã có câu trả lời chỉ ra rằng vấn đề TQBF hoàn thành PSPACE có thể được sử dụng như một lời tiên tri để có được sự sụp đổ như vậy. Một sự phản đối về việc liệu đây có phải là một mô hình tiên tri có ý nghĩa dường như cũng được trả lời.

Nhưng ngay cả khi tôi có thể hiểu tại sao "chúng ta không có mô hình tiên tri có ý nghĩa trong đó L và NP sụp đổ" nên được coi là một tuyên bố chính xác, tôi vẫn nghi ngờ liệu việc chứng minh L! = NP có khả thi hơn so với chứng minh P! = NP. Nếu việc chứng minh L! = NP thực sự sẽ dễ hơn chứng minh P! = NP, thì việc chứng minh ALogTime! = PH chắc chắn phải nằm trong tầm tay. (Bài viết khảo sát gợi ý về khả năng tách khỏi L. ) Tôi đoán ALogTime! = PH vẫn mở và tôi muốn biết liệu có lý do chính đáng nào để hy vọng rằng sẽ khó chứng minh hay không.$\Sigma_2^p$$L$

Không chắc tại sao Fortnow nói rằng "không có mô hình có ý nghĩa trong đó và N P sụp đổ" ... đối với tôi, QBF nên làm cho họ sụp đổ, theo mô hình nhà tiên tri Ruzzo-Simon-Tompa thông thường (và liên kết bạn bao gồm đồng ý). Lưu ý mô hình nhà tiên tri này cũng có những điểm kỳ quặc: chúng ta có L = N L khi và chỉ khi L A = N L A cho mọi nhà tiên tri A , do đó, bất kỳ nhà tiên tri nào chứng kiến ​​một sự tách biệt sẽ ngụ ý sự tách biệt không liên quan.$L$$NP$$L = NL$$L^A = NL^A$$A$

ALogTime = LOGTIME-Đồng phục . Vì vậy, có, A L o g T i m e = N P đang mở. Có một khái niệm tương đối hóa về đồng phục N C 1 , và bạn có thể thu gọn N P và N C 1 theo khái niệm đó. Xem Định lý 6 trong http://link.springer.com/article/10.1007/BF01692056 . (Một cảnh báo: về mặt kỹ thuật, bài báo đó xem xét NC1 đồng phục LOGSPACE, nhưng tôi tin rằng một số phiên bản hợp lý của cấu trúc nhà tiên tri đó sẽ hoạt động trong cài đặt đồng phục LOGTIME.)$NC1$$ALogTime = NP$$NC1$$NP$$NC1$

Ngoài ra, tôi không biết lý do cụ thể nào để tin rằng "khó chứng minh" ngoài quan sát mà nhiều người đã thử và chưa có ai thành công.

Một ý tưởng ngây thơ để chứng minh ALogTime! = PH: Vấn đề giá trị công thức Boolean đã hoàn tất cho ALogTime theo các giảm thời gian đăng nhập xác định . Do đó, nếu ALogTime = PH, thì PH = coNP = ALogTime và do đó, vấn đề giá trị công thức Boolean sẽ được hoàn thành trong việc giảm thời gian nhật ký xác định cho coNP. Do đó, sẽ có giảm thời gian đăng nhập xác định từ bài toán tautology sang bài toán giá trị công thức Boolean.

Việc giảm thời gian đăng nhập xác định sẽ vô hại, chúng không thể đóng góp nhiều cho giải pháp của vấn đề tautology. Họ chỉ là một chính thức tốt đẹp có nghĩa là giảm chỉ có thể hoạt động rất cục bộ. Do đó, nhiệm vụ còn lại là tìm hiểu lý do tại sao bài toán tautology không thể biến thành bài toán giá trị công thức Boolean bằng cách giảm rất cục bộ. Tôi vẫn không thấy làm thế nào để làm điều đó, nhưng ít nhất nhiệm vụ còn lại rất rõ ràng, để tôi có ít nhất một cơ hội để hiểu tại sao nó khó (hoặc không).