Độ phức tạp tham số hóa từ P đến NP-hard và trở lại

Tôi đang tìm kiếm các ví dụ về các vấn đề được tham số hóa bởi một số , trong đó độ cứng của vấn đề là không đơn điệu trong . Hầu hết các sự cố (theo kinh nghiệm của tôi) có chuyển đổi một pha, ví dụ k -SAT có chuyển tiếp một pha từ k \ in \ {1,2 \} (trong đó sự cố nằm ở P) sang k \ ge 3 (trong đó vấn đề là NP-đầy đủ). Tôi quan tâm đến các vấn đề trong đó có sự chuyển pha theo cả hai hướng (từ dễ đến khó và ngược lại) khi k tăng.$k \in \mathbb{N}$$k$$k$$k \in \{1,2\}$$k \ge 3$$k$

Câu hỏi của tôi có phần giống với câu hỏi tại Hardness Jumps in Computational Complexity , và trên thực tế, một số câu trả lời có liên quan đến câu hỏi của tôi.

Ví dụ tôi biết:

1. $k$ -colorability của đồ thị phẳng: Trong P trừ khi $k=3$ , trong đó NP-hoàn thành.
2. Cây Steiner có $k$ terminal: Trong P khi $k=2$ (thu gọn thành đường dẫn $s$ - t ngắn nhất $t$) và khi $k=n$ (thu gọn thành MST), nhưng NP-hard "ở giữa". Tôi không biết các chuyển tiếp pha này có sắc nét không (ví dụ: P cho $k_0$ nhưng NP-hard cho $k_0+1$ ). Ngoài ra các chuyển đổi của $k$ phụ thuộc vào kích thước của thể hiện đầu vào, không giống như các ví dụ khác của tôi.
3. Đếm các bài tập thỏa mãn của công thức phẳng modulo $n$ : Trong P khi $n$ là số nguyên tố Mersenne $n=2^k-1$ và # P-hoàn thành cho hầu hết (?) / Tất cả các giá trị khác của $n$ (từ Aaron Sterling trong chuỗi này ). Rất nhiều giai đoạn chuyển tiếp!
4. Phát hiện sơ đồ con cảm ứng: Vấn đề không được tham số hóa bởi một số nguyên mà là một biểu đồ. Tồn tại các biểu đồ (trong đó biểu thị một loại quan hệ đồ thị con nhất định), để xác định xem cho một biểu đồ có trong P cho nhưng NP-hoàn thành cho . (từ Hsien-Chih Chang trong cùng một chủ đề ).$H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3$$\subseteq$$H_i \subseteq G$$G$$i\in \{1,3\}$$i=2$

Một lĩnh vực có nhiều sự không đơn điệu về độ phức tạp của vấn đề là kiểm tra thuộc tính. Đặt là tập hợp của tất cả các đồ thị -vertex và gọi một thuộc tính đồ thị. Một vấn đề chung là xác định xem một đồ thị có thuộc tính (tức là ) hay 'xa' với việc có thuộc tính theo một nghĩa nào đó. Tùy thuộc vào là gì và loại truy cập bạn có vào biểu đồ, vấn đề có thể khá khó khăn. nP⊆ G n GPG∈PP$\mathcal{G}_n$$n$$P \subseteq \mathcal{G}_n$$G$$P$$G \in P$$P$$P$

Nhưng điều dễ nhận thấy là vấn đề không đơn điệu, trong đó nếu chúng ta có , thì thực tế là có thể kiểm tra dễ dàng không ngụ ý rằng có thể kiểm tra được dễ dàng hay là. P S $S \subset P \subset T$$P$$S$$T$

Để thấy điều này, đủ để quan sát rằng và đều có thể kiểm tra được tầm thường, nhưng đối với một số thuộc tính, tồn tại giới hạn dưới mạnh. P = $P = \mathcal{G}_n$$P = \emptyset$

Đối với đồ thị và số nguyên , lũy thừa thứ của , ký hiệu là , có cùng một đỉnh được đặt sao cho hai đỉnh khác nhau nằm liền kề trong nếu khoảng cách của chúng trong là nhất . Công suất thứ của bài toán chia đồ thị hỏi xem đồ thị đã cho có phải là lũy thừa thứ của đồ thị tách không.k ≥ 1 k G G k G k G k k $G$$k\ge 1$$k$$G$$G^k$$G^k$$G$$k$$k$$k$

• Với , bài toán có thể giải được trong thời gian tuyến tính. Điều này là do nhận dạng đồ thị phân chia là có thể thực hiện được trong thời gian tuyến tính (nổi tiếng).$k=1$
• Với , bài toán hoàn thành NP. Điều này được Lau và Corneil chứng minh trong việc Nhận biết các quyền hạn của khoảng cách, phân chia và biểu đồ hợp âm , SIAM J. Toán rời rạc., 18 (2004), 83-102 .$k=2$
• Đối với , vấn đề là không đáng kể: chỉ có đồ thị hoàn chỉnh là quyền hạn thứ của đồ thị tách.$k\ge 3$$k$

Một trong những vấn đề như vậy là tô màu cạnh của đồ thị phẳng trong đó tham số là - mức độ tối đa của đồ thị. Khi hoặc có các thuật toán chính xác đa thức đã biết cho nó ( xem tại đây ), trong khi đối với các thuật toán như vậy không được biết và không có bằng chứng độ cứng NP cho các trường hợp này .$\Delta$$\Delta=2$$\Delta\geqslant 7$$3\leqslant\Delta\leqslant 6$

Các câu hỏi liên quan được thảo luận ở đây .

Xác định xem một đồ thị có một nhóm thống trị cho:$G$

• $diam(G)=1$ là tầm thường - câu trả lời luôn là 'có'
• $diam(G)=2$ là NP-hoàn thành
• $diam(G)=3$ là NP-hoàn thành
• $diam(G)\ge 4$ là tầm thường - câu trả lời luôn là 'không'

Trường hợp là do Brandstädt và Kratsch , và trường hợp được ghi chú trong một bài báo gần đây của tôi .$diam(G)=3$$diam(G)=2$

Đây có phải là một ví dụ về hiện tượng bạn đang tìm kiếm?

Hãy xem xét vấn đề k-Clique, trong đó k là kích thước của cụm mà chúng ta đang tìm kiếm. Vì vậy, vấn đề là "Có một cụm kích thước k trong đồ thị G trên n đỉnh không?"

Đối với tất cả các hằng số k, vấn đề nằm ở P. (Thuật toán brute force chạy trong thời gian .) Đối với các giá trị lớn của k, ví dụ các giá trị như n / 2, nó hoàn thành NP. Khi k rất gần với n, như nc đối với một số c không đổi, vấn đề lại nằm ở P vì chúng ta có thể tìm kiếm trên tất cả các tập con của n đỉnh có kích thước nc và kiểm tra xem có bất kỳ trong số chúng tạo thành một cụm không. (Chỉ có các tập con như vậy, nó lớn về mặt đa thức khi c là hằng số.)$O(n^k)$$O(n^c)$

Đây là một ví dụ có thể thuộc loại bạn đang tìm kiếm. Tham số không phải là một số nguyên mặc dù, đó là một cặp số. (Mặc dù một trong số chúng có thể được sửa chữa để biến nó thành vấn đề một tham số.)

Vấn đề là đánh giá đa thức Tutte của đồ thị G tại tọa độ (x, y). Chúng ta có thể hạn chế tọa độ là số nguyên. Vấn đề nằm ở P nếu (x, y) là một trong các điểm (1, 1), (-1, -1), (0, -1), (-1,0) hoặc thỏa mãn (x-1 ) (y-1) = 1. Nếu không thì nó là # P-hard.

Tôi đã nhận được điều này từ bài viết của Wikipedia về đa thức Tutte .

Thế còn câu hỏi về tính toán vĩnh viễn của một ma trận modulo ? Với điều này là dễ dàng (vì vĩnh viễn = xác định) và Valiant (trong " Độ phức tạp của tính toán vĩnh viễn ") cho thấy nó có thể được tính modulo trong thời gian cho bởi một biến thể loại bỏ Gaussian đã sửa đổi. Nhưng với không phải là lũy thừa thì đó là UP-Hard. $k$$k=2$$2^d$$O(n^{4d-3})$$d \geq 2$$k$$2$

Một vấn đề khác với hiện tượng này là vấn đề MINIMUM -SPANNER trên các biểu đồ phân tách.$t$

Đối với một hằng số , một -spanner của một đồ thị liên thông là một kết nối spanning đồ thị con của như vậy mà cho tất cả các cặp đỉnh và , khoảng cách giữa và trong là tại hầu hết các lần khoảng cách của họ trong . Vấn đề MINIMUM -SPANNER yêu cầu một -spanner có số cạnh tối thiểu của đồ thị đã cho.t G H G x y x y H t G t $t$$t$$G$$H$$G$$x$$y$$x$$y$$H$$t$$G$$t$$t$

Một đồ thị phân chia là một đồ thị có bộ đỉnh có thể được phân chia thành một bè lũ và một bộ độc lập.

Trong bài báo này đã chỉ ra rằng MINIMUM 2-SPANNER trên các biểu đồ phân tách là NP-hard trong khi với mỗi , MINIMUM -SPANNER dễ dàng trên các biểu đồ phân tách.$t \ge 3$$t$

Ví dụ nổi tiếng là màu -edge.$k$

Có thể quyết định trong thời gian đa thức nếu nếu không nó là -complete .N P$k \ne \Delta$$NP$

Đối với đồ thị hình khối, quyết định sự tồn tại của màu cạnh bằng cách sử dụng:

• $k=2$ màu là tầm thường vì câu trả lời luôn là không.
• N $k=3$ màu là -complete$NP$
• $k \ge 4$ màu là tầm thường vì câu trả lời luôn luôn là có.

Holyer, Ian (1981), "Sự hoàn thiện NP của tô màu cạnh", Tạp chí SIAM về tính toán 10: 718 Lời720

http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring

Đây là một ví dụ thú vị (và đáng ngạc nhiên) cho quá trình chuyển pha P NP-hard P NP-hard :$\to$$\to$$\to$$\to \cdots$

Quyết định xem một đồ thị hoàn chỉnh trên đỉnh, trong đó mỗi đỉnh có thứ hạng nghiêm ngặt của tất cả các đỉnh khác, thừa nhận một kết hợp phổ biến nằm trong P cho lẻ và NP-hard cho chẵn . (Tham số là số đỉnh .)$n$$n$$n$$n$

Bằng chứng đã được công bố trong bài báo này .

Một đường dẫn trong đồ thị màu cạnh là cầu vồng nếu không có màu nào xuất hiện hai lần trên nó. Một đồ thị có màu cầu vồng nếu có một đường cầu vồng giữa mỗi cặp đỉnh. Đặt RAINBOW- -COLORABILITY là vấn đề quyết định xem một đồ thị đã cho có thể được tô màu cầu vồng bằng cách sử dụng màu .$k$$k$

Đối với bất kỳ đồ thị , vấn đề dễ dàng đối với vì nó bằng với việc kiểm tra xem có phải là một đồ thị hoàn chỉnh hay không. Đối với các biểu đồ phân tách , vấn đề là -complete cho và trong cho tất cả các giá trị khác của .k = 1 G N P k ∈ { 2 , 3 } P $G$$k=1$$G$$\sf NP$$k \in \{2,3\}$$\sf P$$k$

Xem Chandran, L. Sunil, Deepak Rajendraprasad và Marek Tesař. "Tô màu cầu vồng của đồ thị phân chia." bản in sẵn arXiv arXiv: 1404.4478 (2014).

Một tập hợp con của đồ thị là một bộ cắt bị ngắt kết nối nếu và bị ngắt kết nối.G G [ U ] G - $U\subseteq V(G)$$G$$G[U]$$G-U$

Quyết định nếu một đồ thị đường kính 1 có một bộ cắt bị ngắt kết nối là tầm thường. Vấn đề trở thành NP-hard trên đồ thị đường kính 2 xem bài báo này và một lần nữa dễ dàng trên biểu đồ đường kính ít nhất 3 xem bài báo này .