Có một hoạt động phân chia được xác định rõ trên automata hữu hạn?

Lý lịch:

Cho hai automata hữu hạn xác định A và B, chúng ta tạo thành sản phẩm C bằng cách để các trạng thái trong C là sản phẩm cartes của các trạng thái ở A và trạng thái ở B. Sau đó, chúng ta chọn chuyển tiếp, trạng thái ban đầu và trạng thái cuối cùng để ngôn ngữ được chấp nhận C là giao điểm của các ngôn ngữ cho A và B.

Câu hỏi:

(1) Chúng ta có thể "chia" C cho B để tìm A không? Là một thậm chí duy nhất, lên đến đẳng cấu? Chúng tôi quan tâm đến các sơ đồ trạng thái, không phải các ngôn ngữ ở đây và bên dưới. Vì vậy, chúng tôi không cho phép nén các biểu đồ trạng thái để giảm số lượng trạng thái.

(2) Nếu A là duy nhất, có một thuật toán hiệu quả để tìm ra nó không?

(3) Có phải mọi máy tự động hữu hạn xác định có một yếu tố duy nhất thành "số nguyên tố". Một nguyên tố ở đây có nghĩa là một máy tự động không thể được bao gồm, nghĩa là, được viết dưới dạng một sản phẩm của 2 máy tự động nhỏ hơn.

Làm việc với @MichaelWehar

fl.formal-languages automata-theory dfa

— Whosyourjay
nguồn

Sự phân rã cổ điển là lý thuyết Krohn-Rhodes - rất nhiều thứ để xem xét.

Hãy xem xét các dẫn xuất Brzozowski. vi.wikipedia.org/wiki/Brzozowski_derivative

— Vijay D

@halfTrucker Lý thuyết Krohn-Rhodes liên quan đến sản phẩm vòng hoa. OP đang hỏi về sản phẩm của Cartesian.

— scaaahu

Cảm ơn @halfTrucker, điều này thực sự thú vị! Như scaaahu nói, tôi đang tìm kiếm sản phẩm cartesian, nhưng tài liệu tham khảo của bạn vẫn rất tuyệt.

— Whosyourjay

Câu trả lời:

Hãy xem bài viết MFCS 2013 này , nghiên cứu về thành phần trong automata. Có lẽ nó sẽ giúp.

— Thiếu
nguồn

+1 cho liên kết. Trích dẫn từ các cuộc thảo luận của bài viết, Trong khi trường hợp chung vẫn còn mở , có vẻ như bài viết chỉ khám phá trường hợp automata hoán vị. Có sự phát triển gần đây hơn cho các trường hợp chung? Ý tôi là trong ý nghĩa của sản phẩm cartesian? (Lý thuyết Krohn-Rhodes liên quan đến sản phẩm vòng hoa) Cảm ơn.

— scaaahu

Tôi không biết về bất kỳ sự phát triển gần đây. Tôi có thể nói với bạn rằng không có công việc tiếp theo trực tiếp cho bài viết này. Nhưng điều này có thể phục vụ như một dấu hiệu cho thấy vấn đề thực sự không dễ dàng.

— Shaull

Hãy đưa ra một số cách rõ ràng để phục hồi một "yếu tố" của thiết bị tự động. Nếu và biểu thị tự động hóa sản phẩm, thì nếu chúng ta xác định tức là chỉ cần quên $\mathcal A_i = (Q_i, \delta_i, q_{0i}, F_i), i = 1,2$ $\mathcal A = \mathcal A_1 \times \mathcal A_2$

π_{1} ((q, q^{'})) := q

$\pi_1( (q, q') ) := q$

A_{2}

$\mathcal A_2$ hoặc chiếu vào thành phần thứ hai, chúng ta có

, nếu chúng ta muốn biết

chọn một số

và tính toán trong sản phẩm tự động

Q_{1} = π (Q_{1} \times Q_{2})

$Q_1 = \pi(Q_1\times Q_2)$

δ_{1} (q, x)

$\delta_1(q,x)$

q^{'} \in Q_{2}

$q' \in Q_2$

, do đó chúng ta cũng có thể phục hồi quá trình chuyển đổi trong

π ((δ_{1} (q, x), δ_{2} (q^{'}, x)) = δ_{1} (q, x)

$\pi((\delta_1(q,x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x)$

A_{1}

$\mathcal A_1$

Vì vậy, nếu chúng ta biết rằng automaton là một automaton sản phẩm cartesian (hoặc bên ngoài), chúng ta có thể phục hồi các yếu tố một cách dễ dàng.

Nhưng tôi đoán đây không phải là những gì bạn có trong đầu về các câu hỏi khác của bạn. Có hai câu hỏi được đặt ra ở đây (trong phần sau đây là đẳng cấu tự động, ý tôi là đẳng cấu như biểu đồ trạng thái, tức là không liên quan đến các trạng thái ban đầu hoặc cuối cùng, như bạn đã nói ngôn ngữ không phải là vấn đề quá quan tâm ở đây):

A_{1} \times \dots \times A_{k} ≅ B_{1} \times \dots \times B_{l}

$\mathcal A_1 \times \ldots \times \mathcal A_k \cong \mathcal B_1 \times \ldots \times \mathcal B_l$

A_{i}, B_{j}

$\mathcal A_i, \mathcal B_j$

k = l

$k = l$

A_{i} ≅ B_{π (i)}

$\mathcal A_i \cong \mathcal B_{\pi(i)}$

π : {1, \dots k} \to {1, \dots k}

$\pi : \{1,\ldots k \}\to \{1,\ldots k \}$

$\mathcal A, \mathcal B$ $\mathcal C$ $\mathcal A = \mathcal B \times \mathcal C$

Có thể dễ dàng rút ra các điều kiện cần thiết cho trường hợp đó, nhưng tôi không thấy bất kỳ tiêu chí đủ dễ dàng nào để một số máy tự động trở thành một yếu tố của người khác.

π_{1} ((δ_{1} (q, x), δ_{2} (q^{'}, x)) = δ_{1} (q, x) = δ_{1} (π_{1} (q, q^{'}), x)

$\pi_1( (\delta_1(q, x), \delta_2(q', x)) = \delta_1(q,x) = \delta_1(\pi_1(q,q'), x)$

q \in Q_{1}, q^{'} \in Q_{2}

$q \in Q_1, q' \in Q_2$

π

$\pi$

A_{1} \times A_{2}

$\mathcal A_1 \times \mathcal A_2$

A_{2}

$\mathcal A_2$

$\mathcal A$ $\mathcal B$ $\mathcal B$ $\mathcal A$

$\mathcal B$ $\mathcal A$

$M$ $N$ $M$ $N$

H. Straubing, P. Weil Giới thiệu về automata hữu hạn và mối liên hệ của chúng với logic,

Trang web khóa học với rất nhiều thông tin.

Lưu ý : Ngoài ra còn có một khái niệm khác về " thương số ", xem wikipedia: tự động thương số , nhưng đây chỉ là một quy tắc cho các trạng thái sụp đổ và được sử dụng trong các thuật toán suy luận / ngôn ngữ học hoặc tối thiểu hóa trạng thái.

— Stefan
nguồn