Tìm tập hợp lớn nhất các điểm có đường kính giới hạn

Cho các điểm trong và khoảng cách tìm tập con lớn nhất trong số các điểm này sao cho khoảng cách Euclidian của không có hai điểm nào vượt quá . $p_1,\ldots,p_n$ $\mathbb{R}^{d}$ $l$ $l$

Sự phức tạp của vấn đề này là gì?

Trong biểu đồ trên các điểm có cạnh bất cứ khi nào khoảng cách của hai điểm nhiều nhất là , vấn đề tương đương với việc tìm ra một cụm tối đa. Converse có thể không giữ được, bởi vì không phải mọi đồ thị đều có thể thu được theo cách này (một ví dụ là ngôi sao cho ). Do đó, một câu hỏi liên quan là: những gì được biết về lớp biểu đồ này? $l$ $K_{1,7}$ $d=2$

ds.algorithms reference-request cg.comp-geom

— Marcus Ritt
nguồn

Lưu ý rằng nếu

được cố định, sẽ có thuật toán thời gian P "tầm thường": vì một tập hợp như vậy được đặt trong một quả bóng có bán kính

và không mất tính tổng quát, quả bóng chỉ ở mức tối thiểu (tức là chạm

điểm), chỉ liệt kê trên tất cả các tập con. Bạn có thể làm tốt hơn, nhưng từ quan điểm phức tạp, vấn đề là "dễ dàng".

d

$d$

l / 2

$l/2$

d + 1

$d+1$

— Suresh Venkat

Tôi không nghĩ đúng là bộ tối ưu nhất thiết phải được đặt trong một quả cầu có bán kính l / 2. Trong mặt phẳng, ví dụ, ba đỉnh của một tam giác đều có độ dài cạnh l không được bao quanh.

— David Eppstein

à đúng rồi nhưng liệt kê nên làm việc bất kể

— Suresh Venkat

Bạn có thể liệt kê các tập hợp con bên trong các quả bóng, nhưng nếu bạn tạo bán kính l / 2 thì bạn sẽ không tìm thấy một số tập hợp đường kính thấp và nếu bạn làm cho bán kính cao hơn mức đó thì không rõ ràng làm thế nào để cắt các tập hợp con xuống có đường kính thấp.

— David Eppstein

Tại sao tôi không thể liệt kê các tập hợp con, tìm một quả bóng bao quanh tối thiểu và tính toán số lượng thẻ bên trong cho mỗi?

— Suresh Venkat

Câu trả lời:

Có thuật toán thời gian cho phiên bản hai chiều của vấn đề này trong bài báo của tôi với Jeff Erickson, " Lặp lại hàng xóm gần nhất và tìm đa giác tối thiểu ", Disc. Comp. Địa chất. 11: 321-350, 1994. Trên thực tế, bài báo chủ yếu xem xét vấn đề kép: đưa ra số điểm trong tập hợp con, tìm đường kính nhỏ nhất có thể; nhưng nó sử dụng vấn đề bạn mô tả như một chương trình con. Ít nhất tại thời điểm chúng tôi viết nó, chúng tôi không biết bất cứ điều gì phụ cho kích thước cao hơn (mặc dù nếu tập hợp con chỉ có điểm trong đó thì phần mũ có thể được thực hiện phụ thuộc vào thay vì $O(n^3\log n)$ $k$ $k$ $n$ sử dụng các kỹ thuật trong cùng một bài báo).

— David Eppstein
nguồn

Xấp xỉ là khá dễ dàng nếu bạn đang quan tâm đến các tập hợp con nhỏ nhất có đường kính tối đa là . Một thuật toán thời gian tuyến tính bằng cách sử dụng lưới bây giờ là "tiêu chuẩn". Hằng số có lẽ sẽ là một cái gì đó giống như . $(1+\epsilon)l$ $2^{O(1/\epsilon^d)}$

Có một số công việc tìm kiếm quả bóng nhỏ nhất chứa k điểm, nhưng vấn đề đường kính vốn đã khó hơn. Để xem tại sao, một điểm khởi đầu tốt là giấy Clarkson-Shor để tính toán đường kính trong 3d.

BTW, đối với kích thước cao, bài toán bóng gần đúng theo cấp số mũ theo thời gian theo (hoặc một số nhiễu tương tự), bằng cách sử dụng lõi (nhưng không phải theo chiều!). Tôi nghi ngờ rằng cách tiếp cận này có thể được mở rộng cho vấn đề này, nhưng tôi có thể sai. $O(1/\epsilon^2)$

— Sariel Har-Peled
nguồn