Tất cả các màu siêu khác nhau tô màu - vấn đề được biết đến?

Tôi quan tâm đến vấn đề sau: Cho một tập hợp X và các tập con X_1, ..., X_n của X, tìm màu của các phần tử của X với k màu sao cho các phần tử trong mỗi X_i đều có màu khác nhau. Cụ thể hơn, tôi đang xem xét trường hợp tất cả X_i có kích thước k. Điều này được biết đến trong các tài liệu dưới một số tên? Tôi đang tìm kiếm đặc tính của các trường hợp có thể tô màu và kết quả về độ phức tạp (P so với NP-hard). Ví dụ, với k = 2, các thể hiện có thể tô màu tương ứng với các đồ thị lưỡng cực, và do đó, vấn đề có thể được giải quyết trong thời gian đa thức.

Tôi tin rằng điều này được biết đến trong các tài liệu là vấn đề tìm kiếm một màu sắc mạnh mẽ cho một siêu đồ họa đồng phục k. Đây phải là một nơi tốt để bắt đầu: [PDF] .

Nó cũng khó nhất là tô màu cho đồ thị , trong đó được hình thành bằng cách biến mỗi thành một . Hạn chế của bạn rằng tất cả có kích thước có nghĩa là bạn có thể bao phủ từng cạnh của bằng một cụm trên đỉnh.G = ( X , E ) E X i X i k G $k$$G=(X,E)$$E$$X_i$$X_i$$k$$G$$k$

Ít nhất là khó như vẽ một đồ thị tùy ý G = ( V , E ) . Với mỗi cạnh e = { u , v } bạn có tập con X e = { u , v , x ( e , 3 ) , x ( e , 4 ) , Lỗi , x ( e , k ) } ; ở đây mỗi x ( $k$$G = (V,E)$$e = \{u,v\}$$X_e = \{ u, v, x(e,3), x(e,4), \dotsc, x(e,k) \}$ là một phần tử giả không có trong bất kỳ tập hợp con nào khác. Nếu bạn có thể k -colour G , bạn có thể dễ dàng tìm thấy một màu của hệ thống bộ (chỉ cần tô màu các yếu tố giả tham lam), và ngược lại.$x(e,j)$$k$$G$

Một màu trong đó mọi hyperedge là đa sắc (hoặc cầu vồng ) cũng được gọi là một màu mạnh .

Lưu ý rằng màu sắc mạnh mẽ của siêu dữ liệu chính xác là màu phù hợp của biểu đồ Gaifman của siêu đồ thị. ( Biểu đồ Gaifman (hoặc biểu đồ nguyên thủy hoặc 2 phần ) của siêu đồ thị được hình thành bằng cách thêm các cạnh giữa bất kỳ hai đỉnh xuất hiện cùng nhau trong một số siêu phẳng.)

Vì vậy, nếu bạn đang tìm kiếm một -colouring của một r -uniform hypergraph H , sau đó bạn có thể tương đương tìm một k -colouring của đồ thị Gaifman của H . Trường hợp r = 2 tương ứng với màu đồ thị, là thời gian đa thức cho k = 2 và NP-hoàn thành cho k ≥ 3 . Rõ ràng r < 2 là tầm thường, k < r dẫn đến không có giải pháp và các trường hợp khác đều hoàn thành NP.$k$$r$$H$$k$$H$$r=2$$k=2$$k\ge 3$$r <2$$k\lt r$

Một tài liệu tham khảo hữu ích có hầu hết các định nghĩa trên là Vitaly I. Voloshin, Tô màu siêu dữ liệu hỗn hợp: Lý thuyết, Thuật toán và Ứng dụng , Chuyên khảo của Viện Viện 17 , AMS, 2002, ISBN 0-8218-2812-6. Cuốn sách này bao gồm trường hợp tổng quát hơn về các màu yếu, đặc biệt tập trung vào việc kết hợp hai loại cạnh màu: -edges, có ít nhất hai đỉnh với một màu chung và D -edges, có ít nhất hai đỉnh khác nhau màu sắc.$C$$D$