Lớp phức tạp nhỏ nhất của vùng nào mà một mạch siêu tuyến bị ràng buộc được biết đến là gì?

Xin lỗi vì đã hỏi một câu hỏi chắc chắn phải có nhiều tài liệu tham khảo tiêu chuẩn. Tôi tò mò về chính xác câu hỏi trong tiêu đề, đặc biệt tôi đang nghĩ về các mạch Boolean, không bị ràng buộc về chiều sâu. Tôi đặt "nhỏ nhất" trong dấu ngoặc kép để cho phép khả năng có nhiều lớp khác nhau, không được biết là bao gồm lẫn nhau, trong đó một giới hạn siêu tuyến được biết đến.

Tôi tin rằng các lớp nhỏ nhất như vậy được biết là (Cai, 2001), (Vinodframran, 2005) và (Santhanam, 2007). Tất cả những điều này thực sự được biết là không có trong cho mỗi hằng số .$S_2P$$PP$$(MA \cap coMA)/1$$SIZE(n^k)$$k$

Kết quả mạnh nhất mà tôi biết là đối với tất cả k, có một vấn đề trong yêu cầu các mạch có kích thước .$S_2^P$$\Omega(n^k)$

$S_2^P$ là một lớp chứa trong , mà là chính nó chứa trong . ( Sở thú phức tạp có thêm thông tin về lớp học này.)$ZPP^{NP}$$\Sigma_2^P \cap \Pi_2^P$

Kết quả sau phiên bản mạnh nhất của định lý Karp-Lipton do Cai .

Một bằng chứng nhanh về cách thức này xuất phát từ định lý KL: Đầu tiên, nếu SAT yêu cầu các mạch kích thước siêu đa thức, chúng ta đã hoàn thành, vì chúng ta đã thể hiện một vấn đề trong cần các mạch kích thước siêu đa thức. Nếu SAT có mạch kích thước đa thức, sau đó bởi phiên bản mạnh nhất của định lý Karp-Lipton, PH sụp đổ để . Chúng tôi biết PH chứa các vấn đề như vậy (theo kết quả của Kannan) và do đó có vấn đề như vậy. S P 2 S P $S_2^P$$S_2^P$$S_2^P$

Đối với các mạch chung, chúng tôi biết rằng có các vấn đề trong yêu cầu các mạch có kích thước , điều này là do Ravi Kannan (1981) và dựa trên kết quả của anh ấy chứa những vấn đề như vậy. Ω(nk)P$\Sigma^p_2 \cap \Pi^p_2$$\Omega(n^k)$$PH$

Tôi nghĩ rằng mức thấp nhất tốt nhất cho vẫn là khoảng .5 $NP$$5n$

Xem cuốn sách của Arora và Barak, trang 297. Richard J. Lipton đã có một bài đăng trên blog của mình về những kết quả này, cũng xem bài này .

Để tinh chỉnh câu trả lời , với mọi và , * Vấn đề tìm kiếm 3-SAT không có mạch hoặc * Một số vấn đề trong với thời gian (và kích thước nhân chứng) bị giới hạn ở không có io- mạch (io có nghĩa là vô cùng thường xuyên). k≥1c ~ O ( n k ) O 2 P $\mathrm{S}_2\mathrm{P}$$k≥1$$c$
$\tilde{O}(n^k)$
$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$O(nk(logn)c$\tilde{O}(n^{k^2})$$O(n^k (\log n)^c)$

Nếu thay cho vấn đề tìm kiếm 3-SAT, chúng tôi đã sử dụng vấn đề quyết định, time đủ và nếu chúng tôi đã sử dụng bài toán quyết định cho bit trong phép gán tối thiểu từ vựng cho 3-SAT, .˜ O ( n k 2 + k$\mathrm{O}^2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2+k})$˜ O ( n phút ( k 2 + k , k 3 )$i$$\tilde{O}(n^{\min(k^2+k,k^3)})$

Một vấn đề quyết định không thể tính toán được với các mạch io- là số ít nhất (được sử dụng bằng các chữ số nhị phân của nó) không phải là bảng chân lý của một mạch có cổng. Nếu NP nằm trong P / poly, thì sự cố có một nhân chứng lãng quên không thể bác bỏ bao gồm: (1) (2) một mạch cho , cho thấy có một mạch đủ nhỏ. (3) (chỉ được sử dụng cho bị ràng buộc) một trình xác minh cho phép chúng tôi chạy mạch của đối thủ trong (2) chỉ lần (nhận 1 bit mỗi lần chạy ).N n k ⌊ ( log n ) c + 1 ⌋ N N ' < N N ' ~ O ( n k 3 ) O ( 1 $O(n^k (\log n)^c)$$N$$n^k ⌊(\log n)^{c+1}⌋$
$N$
$N' < N$$N'$
$\tilde{O}(n^{k^3})$$O(1)$

Trên một lưu ý riêng, với mỗi , có các vấn đề quyết định trong (MA ∩ coMA) / 1 không có mạch . '/ 1' có nghĩa là máy nhận được một lời khuyên chỉ phụ thuộc vào kích thước đầu vào. Ngoài ra, chuỗi Merlin gửi có thể được chọn để chỉ phụ thuộc vào kích thước đầu vào (với hạn chế này, MA là một tập hợp con của ), và những lời khuyên phức tạp . Bằng chứng (Santhanam 2007) tổng quát hóa IP = PSPACE và PSPACE⊂P / poly PSPACE = MA bằng cách sử dụng một vấn đề hoàn chỉnh PSPACE nhất định và đệm các đầu vào để có được kích thước mạch tối thiểu thường xuyên giữa và , sử dụng lời khuyên để phát hiện đủ các ví dụ về như vậyO ( n k ) O 2 P Σ P 2 n k + 1 n k + 2 n $k$$O(n^k)$$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$Σ_2^P$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$n$và đối với này , giải quyết vấn đề đệm bằng cách Merlin tạo ra một mạch như vậy.$n$