Sự phức tạp của việc phân biệt quang phổ Fourier thật với quang phổ giả là gì?

Một máy $PH$ được cấp quyền truy cập vào một hàm Boolean ngẫu nhiên $f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}$ và hai phổ Fourier $g$ và $h$ .

Phổ Fourier của hàm $f$ được định nghĩa là $F:\{0,1\}^n \to R$ :

$F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x)$

Một trong hoặc là phổ Fourier thực sự của và cái còn lại chỉ là phổ Fourier giả thuộc về hàm Boolean ngẫu nhiên không xác định.h $g$$h$$f$

Không khó để chỉ ra rằng một máy , thậm chí không thể xấp xỉ cho bất kỳ nào .F ( s ) $PH$$F(s)$$s$

Độ phức tạp của truy vấn khi quyết định với xác suất thành công cao, cái nào là đúng?

Điều thú vị đối với tôi, vì nếu vấn đề này không nằm ở , thì người ta có thể chỉ ra rằng có tồn tại một lời tiên tri liên quan đến không phải là tập con của .B Q P P $PH$$BQP$$PH$

Xin lỗi tôi đến trễ - đó là một câu hỏi tuyệt vời! Như những người khác đã chỉ ra, đó chính xác là lý do tại sao tôi đặt câu hỏi trong bài báo BQP so với PH và tại sao tôi đã dành 4 hoặc 5 tháng để làm việc đó mà không thành công trở lại vào năm 2008. Một cách để trả lời câu hỏi sẽ là chứng minh một tuyên bố chung chung hơn nhiều mà tôi gọi là "Giả thuyết Linial-Nisan tổng quát" --- nhưng thật không may, phỏng đoán đó hóa ra là sai , ít nhất là đối với các mạch có độ sâu 3 trở lên. (Tôi vẫn nghĩ rằng điều đó có thể đúng với các mạch độ sâu 2, ít nhất sẽ mang lại sự phân tách tiên tri giữa BQP và AM.) Đối với những ý tưởng gần đây hơn (mới nhất, theo như tôi biết) về sự phân tách tiên tri giữa BQP và PH, xem bài viết tiếp theo hay của Fefferman, Shaltiel, Umans,

Scott Aaronson có thể là người tốt nhất trên thế giới để trả lời câu hỏi này, có thể anh ta sẽ có câu trả lời tốt hơn sau khi câu hỏi này được đăng. ông đã đề xuất vấn đề ban đầu mà câu hỏi được đăng này dường như là một biến thể rất nhỏ, vấn đề được gọi là kiểm tra phạm lỗi (nhiều thông tin hơn về vấn đề đó trong các bình luận). vấn đề có liên quan chặt chẽ / gần tương đương với việc tách hai lớp phức tạp quan trọng PH và BQP, đây là một vấn đề mở quan trọng của lý thuyết phức tạp QM, và có lẽ rất khó. Dường như không có nhiều nghiên cứu trực tiếp / tiếp tục về nó đã được thực hiện cho vấn đề cho đến nay bởi bất kỳ ai khác ngoài Aaronson và thậm chí có thể không phải anh ta (dường như chỉ mới hơn 2 tuổi một chút).

tuy nhiên đây là ít nhất một bài báo của một người nào đó không phải là Aaronson tập trung / xây dựng vào phỏng đoán / vấn đề với một số kết quả mới.

Tăng tốc theo cấp số nhân được chung bởi Fernando GSL Brandão và Michał Horodecki

Trong bài báo của chúng tôi [4], chúng tôi khái quát hóa vấn đề Kiểm tra Fourier [1] và chỉ ra rằng biến đổi Fourier, cả trong định nghĩa của vấn đề và trong thuật toán lượng tử giải quyết nó, có thể được thay thế bằng một lớp lớn các mạch lượng tử. Chúng bao gồm cả biến đổi Fourier trên bất kỳ nhóm hữu hạn (có thể không phải abelian) và gần như bất kỳ mạch lượng tử đủ dài nào từ một phân bố tự nhiên trên tập hợp các mạch lượng tử. Chúng tôi có được sự phân tách theo cấp số nhân của các phức tạp truy vấn cổ điển và lượng tử được chọn cho tất cả các mạch như vậy.