Các lớp biểu đồ với chu trình Hamilton dễ dàng nhưng TSP NP-hard

13

Các Hamilton Chu kỳ vấn đề (HC) bao gồm trong việc tìm kiếm một chu kỳ đi qua tất cả các đỉnh trong một đồ thị vô hướng nhất định. Các Salesman Du lịch Vấn đề (TSP) bao gồm trong việc tìm kiếm một chu kỳ đi qua tất cả các đỉnh trong một đồ thị cạnh trọng nhất định và giảm thiểu tổng khoảng cách đo bằng tổng các trọng lượng của các cạnh trong chu kỳ. HC là một trường hợp đặc biệt của TSP và cả hai đều được biết là NP-đầy đủ [Garey & Johnson]. (Xem các liên kết ở trên để biết thêm chi tiết và các biến thể của những vấn đề này.)

Có bất kỳ lớp đồ thị nào được nghiên cứu về vấn đề chu trình Hamilton có thể giải quyết được trong thời gian đa thức thông qua thuật toán không tầm thường , nhưng Vấn đề nhân viên bán hàng du lịch là NP-hard?

Không tầm thường là loại trừ các lớp như lớp đồ thị hoàn chỉnh, trong đó chu trình Hamilton được đảm bảo tồn tại và có thể dễ dàng tìm thấy, hoặc nói chung là các lớp biểu đồ nơi HC luôn được đảm bảo tồn tại.

— Standa Zivny
nguồn

20

Chữ ký không phải lúc nào cũng là Hamilton, có các bài kiểm tra thời gian đa thức cho Hamilton, và NP-khó để giải quyết vấn đề nhân viên bán hàng du lịch cho.

Tổng quát hơn, vấn đề chu trình Hamilton có thể được giải quyết trong thời gian đa thức (nhưng không phải là tham số cố định) trên đồ thị có độ rộng giới hạn ; xem, ví dụ, Fomin et al., "Clique-width: về giá của tính tổng quát", SODA'09. Nhưng một lần nữa bởi vì các họ đồ thị này bao gồm các đồ thị hoàn chỉnh, TSP khó sử dụng các đồ thị này.

— David Eppstein
nguồn

Tôi tò mò về tuyên bố cuối cùng của bạn. Có phải bởi vì chuyến tham quan TSP sẽ xác định một cách hiệu quả các cụm sao bằng cách tất cả các đỉnh của cụm được tiếp giáp trong tour?

— Suresh Venkat

1

Không, ý tôi đơn giản là TSP khó ngay cả trong một biểu đồ hoàn chỉnh và các biểu đồ hoàn chỉnh nằm trong số các biểu đồ có chiều rộng giới hạn. Bản thân các biểu đồ hoàn chỉnh không cung cấp một câu trả lời hay cho câu hỏi bởi vì Hamilton là tầm thường đối với chúng, nhưng các siêu lớp của các cụm (chẳng hạn như các đồ thị) có thể có các bài kiểm tra Hamilton tính không phổ biến nhưng đa thức.

— David Eppstein

11

Làm thế nào về đồ thị hoàn chỉnh ? Vì TSP luôn có thể được giảm xuống thành một thể hiện trên các biểu đồ hoàn chỉnh (bằng cách thêm khoảng cách thích hợp giữa các cạnh không), nên vẫn khó giải quyết TSP trên các biểu đồ hoàn chỉnh. Nhưng bất kỳ đồ thị hoàn chỉnh là Hamilton.

— Hsien-Chih Chang 張顯
nguồn

Vâng tất nhiên, cảm ơn bạn! Quên loại trừ các biểu đồ hoàn chỉnh và đối với vấn đề đó, tất cả các loại biểu đồ trong đó HC có thể giải quyết được một cách tầm thường.

— Standa Zivny

3

@Standa Zivny: Tôi không chắc liệu bạn có định chỉnh sửa câu hỏi hay không, nhưng nếu bạn muốn loại trừ tất cả các loại biểu đồ trong đó HC có thể giải quyết được một cách tầm thường, bạn nên chỉnh sửa câu hỏi. Tuy nhiên, tôi nghi ngờ rằng có thể hình thành sự khác biệt giữa trường hợp HC có thể được giải quyết dễ dàng và một trường hợp HC có thể được giải quyết một cách tầm thường. Nghiêm

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi Ito: Một điểm hay, tôi đã chỉnh sửa câu hỏi.

— Standa Zivny

@StandaZivny - Không phải tất cả các biểu đồ tầm thường đối với HC đều khó đối với TSP, ví dụ: biểu đồ đường dẫn.

— RB

3

Có nhiều lớp đồ thị vô hạn được biết là có các mạch hamiltonian. Hai lớp đặc biệt thú vị là các hình khối n và đồ thị Halin. Một cách nghĩ về đồ thị Halin là nhúng một cây có ít nhất 3 đỉnh và không có đỉnh hóa trị hai trong mặt phẳng, rồi truyền một mạch đơn giản qua các đỉnh 1 hóa trị của cây.

http://en.wikipedia.org/wiki/Halin_graph

Những biểu đồ này được biết là có HC và trên thực tế, chúng là tuyến tụy (mạch có độ dài) hoặc thiếu chính xác một chiều dài mạch phải có độ dài chẵn.

— Joseph Malkevitch
nguồn